2005大阪大 文系数学２

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【解答】

　(1)
　　　f(x)の導関数を求めると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=6x^2+2x=2x(3x+1)}$
　　　増減表を書くと、下の通り。
　　　　　


　　　これより、グラフは右図1のようになる。



　(2)
　　　曲線y=f(x)の接線のうち、原点Oを通るものをLとする。
　　　点(t，f(t))における接線の方程式は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf y-(2t^3+t^2-3)=(6t^2+2t)(x-t)}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 　y=(6t^2+2t)x-4t^3-t^2-3}$
　　　これが原点を通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf -4t^3-t^2-3=0}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 　(t+1)(4t^2-3t+3)=0}$　･････①
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\sf 4t^2-3t+3=0}$ の判別式Dは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf D=9-12\lt 0}$
　　　となるので、①の実数解は、$\scriptsize\sf{\sf t=-1}$ のみである。
　　　よって、Lの方程式は、

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf y=4x}$

　　　図2より、直線y=mxと曲線y=f(x)が異なる3点で
　　　交わるのは、y=mxの傾きがLよりも急なときである。
　　　よって、求める条件は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf \underline{m\gt 4}}$



　　グラフから考えていくと楽です。
　　下手に交点を求めようとして、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf 2x^3+x^2-3=mx}$
　　の方程式で議論しようとすると、泥沼にはまってしまいます。