第１問
次の問いに答えよ。
(１) 空間内の3点A(0，1，3)、B(-1，3，2)、C(1，2，-1)とする。
この3点を通る平面上にD(a，b，-1)があるとき、aとbの関係式
を求めよ。
(２) 数列{an}は
a１=a ＞0、 an+1=16an3 （n=1，2，・・・）
をみたすものとする。
(ⅰ) 数列{bn}をbn=log2anとするとき、{bn}の一般項をaとnを用い
て表せ。
(ⅱ) 数列{an}の一般項をaとnを用いて表せ。
(ⅲ) すべてのnについてan=aをみたすようなaの値を求めよ。
(３) 複素数平面上において、等式2|z-4|=3|z-3i|をみたす点zはどの
ような図形を表すか。ただし、iは虚数単位とする。
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【解答】
(１)
点Dが平面ABC上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a,b-1,-4\right)=s\left(-1,2,-1\right)+t\left(1,1,-4\right)\end{align*}}$
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-s+t\end{align*}}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-1=2s+t\end{align*}}$ ･･････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4=-s-4t\end{align*}}$ ･･････③
①、②を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{-a+b-1}{3}\ ,\ t=\frac{2a+b-1}{3}\end{align*}}$
これらを③に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4=-\frac{-a+b-1}{3}-4\cdot\frac{2a+b-1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 7a+5b=17}\end{align*}}$
(２)(ⅰ)
a1＞0よりa2＞0であり、以下も帰納的にan＞0である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=16a_n^{\ 3}\end{align*}}$ の両辺の対数（底2）をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2a_{n+1}=\log_216a_{n}^{\ 3}=4+3\log_2a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=4+3b_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}+2=3\left(b_n+2\right)\end{align*}}$
数列{bn+2}は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n+2&=\sf 3^{n-1}\left(b_1+2\right)\\ &=\sf 3^{n-1}\left(\log_2a+2\right)\\ &=\sf 3^{n-1}\log_24a\\ &=\sf \log_2\left(4a\right)^{3^{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\sf \log_2\left(4a\right)^{3^{n-1}}-2}\end{align*}}$
(２)(ⅱ)
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=2^{b_n}=2^{\log_2\left(4a\right)^{3^{n-1}}-2}=\underline{\sf \frac{\left(4a\right)^{3^{n-1}}}{4}}\end{align*}}$
(２)(ⅲ)
すべてのnについてan=aをみたすので、与えられた漸化式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=16a^3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a\left(4a-1\right)\left(4a+1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=0\ ,\ \pm\frac{1}{4} \end{align*}}$
a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a=\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(３)
与式の両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\left|z-4\right|^2=9\left|z-3i\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(z-4\right)\left(\overline{z}-4\right)=9\left(z-3i\right)\left(\overline{z}+3i\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4z\overline{z}-16z-16\overline{z}+64=9z\overline{z}+27iz-27i\overline{z}+81\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\overline{z}+\frac{16+27i}{5}z+\frac{19-27i}{5}\overline{z}+\frac{17}{5}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z+\frac{16-27i}{5}\right)\left(\overline{z}+\frac{16+27i}{5}\right)=36\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|z+\frac{16-27i}{5}\right|^2=6^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|z+\frac{16-27i}{5}\right|=6\end{align*}}$
となるので、zは点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{16-27i}{5}\end{align*}}$ を中心とする半径6の円を表す。
(３)は、いわゆるアポロニウスの円ってヤツですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/14(日) 01:01:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2016
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