青木ゼミ青木2016旭川医科大　数学３

2016旭川医科大　数学３

第３問

　　aを正の実数とする。点Pは曲線C_a： y=e^ax上を、点Qは直線y=xを
　　それぞれ動く。このとき、次の問いに答えよ。

　(１) 曲線C_aと直線y=xが共有点をもたないようなaの値の範囲を求めよ。

　(２) (１)で求めた範囲にあるaに対して、線分PQの長さの最小値をd(a)
　　　とする。PQの長さがd(a)となる曲線C_a上の点をP_aとする。
　　　(ⅰ) d(a) を求めよ。
　　　(ⅱ) 点P_aにおける曲線C_aの接線の傾きを求めよ。
　　　(ⅲ) aが(１)で求めた範囲を動くときの点 P_aの軌跡を求め、その
　　　　　概形を図示せよ。

　(３) d(a)の最大値と、そのときのaの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)　　　
　　　関数f(x)を
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{ax}-x\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=ae^{ax}-1\end{align*}}$
　　　となるので、f’(x)=0となるのは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{ax}=\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ ax=\log\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{a}\log\frac{1}{a}\end{align*}}$
　　　のときである。この値をpとおくと、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　よって、曲線C_aが直線y=xと共有点を持たないとき、f(x)=0となる
　　　xが存在しないので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(p)=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}\log\frac{1}{a}\gt 0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log\frac{1}{a}\lt 1\ \ \ \left(\because\ a\gt 0\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{a}\lt e\ \ \ \left(\because\ e\gt 1\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf a\gt \frac{1}{e}}\end{align*}}$

　(２)(ⅰ)
　　　点Pの座標を実数tを用いて(t，e^at)とおき、点Pと直線y=xとの距離
　　　をdとおくと、　　　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d&=\sf \frac{\left|t-e^{at}\right|}{\sqrt{1+1}}\\ &=\sf \frac{1}{\sqrt2}\ f(t)\ \ \ \left(\because\ f(x)>0\right)\\ &\geqq \sf \frac{1}{\sqrt2}\ f(p)\\ &=\sf \frac{1}{\sqrt2\ a}\left(1+\log a\right) \end{align*}}$
　　　よって、dの最小値は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d(a)=\underline{\sf \frac{1}{\sqrt2\ a}\left(1+\log a\right)}\end{align*}}$

　(２)(ⅱ)
　　　(ⅰ)より、dが最小になるときのPの座標は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_a\left(p\ ,\ e^{ap}\right)=\left(\frac{1}{a}\log\frac{1}{a}\ ,\ \frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　　　・・・・・・(#)
　　　ここで、関数h(x)を
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=e^{ax}\end{align*}}$
　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=ae^{ax}\end{align*}}$
　　　なので、点P_aにおけるC_aの接線の傾きは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (p)=h\ '\left(\frac{1}{a}\log\frac{1}{a}\right)=a\cdot\frac{1}{a}=\underline{\sf 1}\end{align*}}$

　(２)(ⅱ)
　　　点P_aの座標を(x，y)とおくと、(#)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{a}\log\frac{1}{a}\ \ ,\ \ y=\frac{1}{a}\end{align*}}$
　　　であり、これらよりaを消去すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=y\log y\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dy}=\log y+y\cdot\frac{1}{y}=\log y+1\end{align*}}$
　　　また、a＞0と(１)より、0＜y＜eなので、xの増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　これをもとに点P_aの軌跡の概形は下図のようになる。

　　　　　　　　　

　(３)
　　　(２)(ⅰ)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d\ '(a)&=\sf \frac{\frac{1}{a}\cdot a-\left(1+\log a\right)\cdot 1}{\sqrt2\ a^2}\\ &=\sf -\frac{\log a}{\sqrt2\ a^2} \end{align*}}$
　　　となるので、d(a)の増減は次のようになる。

　　　　　　

　　　よって、d(a)はa=1のとき最大となり、その値は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d(a)_{max}=d(1)=\underline{\sf \frac{1}{\sqrt2}}\end{align*}}$

　　(２)(ⅱ)のグラフは、xとyが逆なので描きにくいかもしれません。　　

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