第２問
原点Oを中心とする単位円周上にA(-1，0)、B(1，0)、およびy＞0を
満たす動点C(x，y) がある。∠BAC=$\small\sf{\theta}$ とするとき、次の問いに答えよ。
ただし、0＜$\small\sf{\theta}$ ＜ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。
(１) △ABCの面積を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(２) △ABCの内接円O1の半径r1を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(３) x軸、辺ACの延長線、および辺BCとそれぞれ接する円O2を考える。
x軸上の接点をD、辺ACのC側の延長上の接点をE、そして辺BC上
の接点をFとする。
(ⅰ) ADの長さを$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(ⅱ) 円O2の半径r2を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(ⅲ) 円O1の中心をI、円O2の中心をJとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r_2}{r_1}=2\end{align*}}$ となるとき、△OIJの
面積を求めよ。
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【解答】
(１)
ABは円Oの直径なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC=AB\cos\theta=2\theta\ \ ,\ BC=AB\sin\theta=2\sin\theta\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot 2\cos\theta\cdot 2\sin\theta=\underline{\sf 2\sin\theta\cos\theta}\end{align*}}$
(２)
円O1の中心をIとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\triangle IAB+\triangle ICA+\triangle IBC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin\theta\cos\theta=\frac{r_1}{2}\left(2+2\cos\theta+2\sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_1=\underline{\sf \frac{2\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta+\sin\theta}}\end{align*}}$
(３)(ⅱ)
円O2の中心をJとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\triangle JAB+\triangle JCA-\triangle JBC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin\theta\cos\theta=\frac{r_2}{2}\left(2+2\cos\theta-2\sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_2=\underline{\sf \frac{2\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta-\sin\theta}}\end{align*}}$
(３)(ⅰ)
AD、AEは円O2の接線なので、AD⊥JDであり、AJは∠DAEを
二等分する。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan \angle JAD=\frac{DJ}{DA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AD=\frac{DJ}{\tan \angle JAD}=\frac{r_2}{\tan\frac{1}{2}\angle DAE}=\underline{\sf \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\left(1+\cos\theta-\sin\theta\right)\tan\frac{\theta}{2}}}\end{align*}}$
(３)(ⅲ)
(２)と(３)(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r_2}{r_1}=\frac{\frac{2\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta-\sin\theta}}{\frac{2\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta+\sin\theta}}=\frac{1+\cos\theta+\sin\theta}{1+\cos\theta-\sin\theta}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\cos\theta+\sin\theta=2\left(1+\cos\theta-\sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=3\sin\theta-1\end{align*}}$
これと、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin^2\theta+\left(3\sin\theta-1\right)^2=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 10\sin^2\theta-6\sin\theta=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin\theta=\frac{3}{5}\ \ \ \left(\because\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DJ=r_2=\frac{2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}=\frac{4}{5}\end{align*}}$
Iからx軸に下した垂線の足をHとおくと、△AIH∽△AJDで
相似比は、r1：r2=1：2である。
よって、IはAJの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle OIJ&=\sf \frac{1}{2}\triangle OAJ\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\frac{4}{5}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{5}}\end{align*}}$
いろいろな解き方ができそうです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/11(木) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2016
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