第１問
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\pi/4}\tan^nxdx\ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$ とおく。このとき、次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \tan x\leqq x+1-\frac{\pi}{4}\ \ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\rm I_{\sf n}\sf\end{align*}}$ を求めよ。
(３) In+In+2の値をnを用いて表せ。
(４) (３)までの結果を用いて、無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2n}\end{align*}}$ の和を求めよ。
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【解答】
(１)
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)= x+1-\frac{\pi}{4}-\tan x\ \ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-\frac{1}{\cos^2x}\leqq 0\end{align*}}$
なので、f(x)は単調に減少する。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)\geqq f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\end{align*}}$
なので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan x\leqq x+1-\frac{\pi}{4}\ \ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
が成り立つ。
(２)
(１)より、0≦x≦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲で常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \tan x\leqq x+1-\frac{\pi}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \tan^nx\leqq\left(x+1-\frac{\pi}{4}\right)^n\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\pi/4}\tan^nxdx<\int_0^{\pi/4}\left(x+1-\frac{\pi}{4}\right)^ndx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt \rm I_{\sf n}\sf\lt \left[\frac{1}{n+1}\left(x+1-\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}\right]_0^{\pi/4}=\frac{1}{n+1}\left\{1-\left(1-\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}\right\}\end{align*}}$
ここで、3＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜4より、0＜1-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\left\{1-\left(1-\frac{\pi}{4}\right)^{n+1}\right\}=0\end{align*}}$
はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\rm I_{\sf n}\sf=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf +\rm I_{\sf n+2}\sf &=\sf \int_0^{\pi/4}\tan^nxdx+\int_0^{\pi/4}\tan^{n+2}xdx\\ &=\sf \int_0^{\pi/4}\tan^nx\left(1+\tan^2x\right)dx\\ &=\sf \int_0^{\pi/4}\tan^nx\cdot\frac{dx}{\cos^2x}\end{align*}}$
ここで、t=tanxと置換すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2x}\end{align*}}$
なので、積分区間に注意すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf +\rm I_{\sf n+2}\sf &=\sf \int_0^1t^ndt\\ &=\sf \left[\frac{t^{n+1}}{n+1}\right]_0^1\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{n+1}}\end{align*}}$
(４)
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{2k}&=\sf \sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}\left(\rm I_{\sf 2k-1}\sf +\rm I_{\sf 2k+1}\sf \right)\\ &=\sf \left(\rm I_{\sf 1}\sf +\rm I_{\sf 3}\sf \right)-\left(\rm I_{\sf 3}\sf +\rm I_{\sf 5}\sf \right)+\left(\rm I_{\sf 5}\sf +\rm I_{\sf 7}\sf \right)-\left(\rm I_{\sf 7}\sf +\rm I_{\sf 9}\sf \right)+\ldots +(-1)^{n+1}\left(\rm I_{\sf 2n-1}\sf +\rm I_{\sf 2n+1}\sf \right)\\ &=\sf \rm I_{\sf 1}\sf +(-1)^{n+1}\rm I_{\sf n+1}\sf \end{align*}}$
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2n}&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{2k}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\rm I_{\sf 1}\sf +(-1)^{n+1}\rm I_{\sf n+1}\sf \right\}\\ &=\sf \rm I_{\sf 1}\sf \\ &=\sf \int_0^{\pi/4}\tan xdx\\ &=\sf \int_0^{\pi/4}\frac{\left(-\cos x\right)'}{\cos x}dx\\ &=\sf \bigg[-\log\left|\cos x\right|\bigg]_0^{\pi/4}\\ &=\sf -\log\frac{1}{\sqrt2}+\log 1\\ &=\sf \underline{\sf \log \sqrt2}\end{align*}}$
(３)までは楽勝です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/11(木) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大 2016
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