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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016浜松医科大 数学1



第1問

  自然数nのすべての正の約数の和を表す関数をf(n)、正の約数の
  個数を表す関数を$\small\sf{\begin{align*}\sf g(n)\end{align*}}$とおく。ただし、1およびnもnの正の約数で
  ありf(1)=$\small\sf{\begin{align*}\sf g(1)\end{align*}}$ =1とする。例えば、n=12のとき、nの正の約数は
  1,2,3,4,6,12なので
     f(12)=1+2+3+4+6+12=28、 $\small\sf{\begin{align*}\sf g(12)\end{align*}}$= 6
  である。以下の問いに答えよ。

 (1) f(24)、$\small\sf{\begin{align*}\sf g(24)\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf g(n)\end{align*}}$ の値が奇数となるnは、ある自然数の平方であることを証明
    せよ。

 以下の問題では、nは偶数とする。

 (3) mを正の整数とし、n=2m-1(2m-1)とおく。このとき,2m-1が素数
    ならばf(n)=2nとなることを証明せよ。

 (4) 平方数ではない偶数nがf(n)=2nを満たしているとする。このとき、
    nのすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを
    示し、その数を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/08(月) 01:19:00|
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