第12問
pを2でない素数とし、自然数m、nは
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(m+n\sqrt{p}\right)\left(m-n\sqrt{p}\right)=1\end{align*}}$
を満たすとする。
(１) 互いに素な自然数の組(x，y)で
$\small\sf{\begin{align*} \sf m+n\sqrt{p}=\frac{x+y\sqrt{p}}{x-y\sqrt{p}}\end{align*}}$
を満たすものが存在することを示せ。
(２) xは(１)の条件を満たす自然数とする。xがpで割り切れないことと、
mをpで割った余りが1であることが、同値であることを示せ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(m+n\sqrt{p}\right)\left(m-n\sqrt{p}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ m^2-n^2p=1\end{align*}}$ ・・・・・・(i)
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m+n\sqrt{p}=\frac{x+y\sqrt{p}}{x-y\sqrt{p}}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(m+n\sqrt{p}\right)\left(x-y\sqrt{p}\right)=x+y\sqrt{p}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(m-1\right)x-npy+\left\{nx-\left(m+1\right)y\right\}\sqrt{p}=0\end{align*}}$
pは素数なので$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{p}\end{align*}}$ は無理数であり、m、n、x、yは有理数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(m-1\right)x-npy=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf nx-\left(m+1\right)y=0\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅲ)
ここで、(ⅲ)において、nとm+1の最大公約数をGとし、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{m+1}{G}\ ,\ y=\frac{n}{G}\end{align*}}$
とおくと、xとyは互いに素であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x+y\sqrt{p}}{x-y\sqrt{p}}&=\sf \frac{\frac{m+1}{G}+\frac{n}{G}\cdot\sqrt{p}}{\frac{m+1}{G}-\frac{n}{G}\cdot\sqrt{p}}\\ &=\sf \frac{m+1+n\sqrt{p}}{m+1-n\sqrt{p}}\\ &=\sf \frac{\left(m+1+n\sqrt{p}\right)^2}{\left(m+1\right)^2-n^2p}\\ &=\sf \frac{\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)n\sqrt{p}+n^2p}{\left(m+1\right)^2-n^2p}\\ &=\sf \frac{\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)n\sqrt{p}+\left(m^2-1\right)}{\left(m+1\right)^2-\left(m^2-1\right)}\ \ \ \ \left(\because\ (i)\right)\\ &=\sf \frac{2m\left(m+1\right)+2\left(m+1\right)n\sqrt{p}}{2\left(m+1\right)}\\ &=\sf m+n\sqrt{p}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(２)
「xがpで割り切れない」 ⇔ 「mをpで割った余りが1」 の証明
【⇒の証明】
(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(m-1\right)x=npy\end{align*}}$
となり、xがpで割り切れないとき、m-1はpの倍数となる。
よって、mをpで割った余りは1である。
【逆の証明】
整数qを用いて m=pq+1とおくと、(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf nx=\left(pq+2\right)y\end{align*}}$
となり、pは2でない素数なので、pq+2はpと互いに素である。
また、xはyは互いに素なので、xはpの倍数とはならない。
書きにくい証明ですね。。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/12(月) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2016
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