第９問
$\small\sf{\begin{align*} \sf z=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\end{align*}}$ (iは虚数単位) とおく。
(１) $\small{\sf z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6}$ を求めよ。
(２) $\small\sf{\alpha=z+z^2+z^4}$ とするとき、$\small\sf{\alpha+\overline{\alpha},\ \ \alpha\overline{\alpha}}$ および$\small\sf{\alpha}$ を求めよ。
ただし、$\small\sf{\overline{\alpha}}$ は$\small\sf{\alpha}$ の共役複素数である。
(３) $\small{\sf (1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)}$ を求めよ。
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【解答】
ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z^7=\left(\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\right)^7=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
(１)
z≠1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6&=\sf \frac{z\left(z^6-1\right)}{z-1}\\ &=\sf \frac{z^7-z}{z-1}\\ &=\sf \frac{1-z}{z-1}\ \ \ \ \left(\because\ (A)\right)\\ &=\sf \underline{\sf -1}\end{align*}}$
(２)
|z|=1と(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z\right|^2=z\overline{z}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{z}=\frac{1}{z}=\frac{z^7}{z}=z^6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z^2\right|^2=z^2\overline{z^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{z^2}=\frac{1}{z^2}=\frac{z^7}{z^2}=z^5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z^4\right|^2=z^4\overline{z^4}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{z^4}=\frac{1}{z^4}=\frac{z^7}{z^4}=z^3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overline{\alpha}=\overline{z}+\overline{z^2}+\overline{z^4}=z^6+z^5+z^3\end{align*}}$ ・・・・・・(B)
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\overline{\alpha}&=\sf z+z^2+z^4+z^6+z^5+z^3\\ &=\sf \underline{\sf -1}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\overline{\alpha}&=\sf z^{10}+z^9+z^8+3z^7+z^6+z^5+z^4\\ &=\sf z^3+z^2+z+3+z^6+z^5+z^4\ \ \ \left(\because\ (A)\right)\\ &=\sf \underline{\sf 2}\end{align*}}$ ←(１)より
解と係数の関係より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\alpha}$ は二次方程式x2+x+2=0の2解である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+x+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-1\pm\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\alpha}$ の虚部は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}=\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\underline{\sf \frac{-1+\sqrt7\ i}{2}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-z\right)\left(1-z^2\right)\left(1-z^4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-z-z^2-z^4+z^3+z^5+z^6-z^7\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\left(z+z^2+z^4\right)+\left(z^6+z^5+z^3\right)-1\end{align*}}$ ←(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\alpha + \overline{\sf \alpha}\end{align*}}$ ←(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-z^3\right)\left(1-z^5\right)\left(1-z^6\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-z^3-z^5-z^6+z^8+z^9+z^{11}-z^{14}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\left(z^6+z^5+z^3\right)+\left(z+z^2+z^4\right)-1\end{align*}}$ ←(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =- \overline{\sf \alpha}+\alpha\end{align*}}$ ←(B)より
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-z\right)\left(1-z^2\right)\left(1-z^3\right)\left(1-z^4\right)\left(1-z^5\right)\left(1-z^6\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\alpha+\overline{\sf \alpha}\right)\left(-\overline{\sf \alpha}+\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\alpha^2-\overline{\sf \alpha}^2+2\alpha\overline{\sf \alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(\alpha +\overline{\sf \alpha}\right)^2+4\alpha\overline{\sf \alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(-1\right)^2+4\cdot 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\sf 7}\end{align*}}$
(A)、(B)と(１)を駆使しましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/12(月) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2016
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