第６問
aは0＜a＜2を満たす整数とする。0≦t≦1を満たす実数tに対して、
座標平面上の4点A(t，0)、B(2，t2)、C(2-t，2)、D(0，2-at)
を考える。このとき、四角形ABCDの面積S(t)が最小となるようなtの
値を求めよ。
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【解答】
O(0，0)、P(2，0)、Q(2，2)、R(0，2)とおくと、
四角形ABCD=四角形OPQR-△OAD-△PBA-△QCB-△RDC
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)&=\sf 2^2-\frac{1}{2}t\left(2-at\right)-\frac{1}{2}t^2\left(2-t\right)-\frac{1}{2}t\left(2-t^2\right)-\frac{1}{2}at\left(2-t\right)\\ &=\sf t^3+\left(a-1\right)t^2-\left(a+2\right)t+4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=3t^2+2\left(a-1\right)t-a-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(0)=-a-2<0\ \ ,\ \ S\ '(1)=a-1\end{align*}}$
(ⅰ) 1＜a＜2のとき
S’(1)=a-1＞0なので、S’(t)=0となるtが0＜t＜1の範囲に
1つ存在する。その値をpとおくと、S’(T)の増減は次のように
なる。
よって、S(t)はt=pで最小となる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '(t)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t&=\sf \frac{1-a\pm\sqrt{\left(a-1\right)^2+3\left(a+2\right)}}{3}\\ &=\sf \frac{1-a\pm\sqrt{a^2+a+7}}{3} \end{align*}}$
であり、p＞0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\underline{\sf \frac{1-a+\sqrt{a^2+a+7}}{3}} \end{align*}}$
(ⅱ) 0＜a≦1のとき
S’(1)=a-1≦0なので、0≦t≦1の範囲で常にS’(t)≦0
となり、S(t)は単調に減少する。
よって、S(t)はt=1のときに最小となる。
pの値が汚くていやですが・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/12(月) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2016
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