第３問
座標平面上に5点A(0，0)、B(0，1)、C(1，1)、D(1，0)、$\small\sf{\begin{align*} \sf E\left(0, \frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
がある。点Eと点P1(s，1) （0＜s＜1）を通る直線をL1とする。直線
y=1に関してL1と対称な直線をL2とし、L2と直線x=1の交点をP2と
する。さらに、直線x=1に関してL2と対称な直線L3はx軸と線分AD上
で交わるとし、その交点をP3とする。
(１) 直線L2が点Dを通るときのsの値を求めよ。
(２) 線分DP3の長さをsを用いて表せ。
(３) EP1+P1P2+P2P3の最大値と最小値を求めよ。
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【解答】
直線y=1に関して点Eと対称な点をF(0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\end{align*}}$ )とおくと、
L2は2点P1、Fを通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y=-\frac{1}{3s}x+\frac{4}{3}\end{align*}}$
(１)
L2がDを通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{3s}+\frac{4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf s=\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
L2とx軸の交点をGとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{3s}x+\frac{4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4s\end{align*}}$
より、G(4s，0)となる。
L2とL3は直線x=1に関して対称なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DP_3=DG=\underline{\sf 4s-1}\end{align*}}$
(３)
L1とL2は直線y=1に関して対称なので、EP1=FP1
L2とL3は直線x=1に関して対称なので、P2P3=P2G
よって、L(s)= EP1+P1P2+P2P3 とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L(s)&=\sf FP_1+P_1P_2+P_2G\\ &=\sf FG\\ &=\sf \sqrt{\left(2s\right)^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2}\end{align*}}$
ここで、P3は線分AD上にあるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq DP_3\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq 4s-1\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\leqq s\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、L(s)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L(s)_{max}=L\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2}=\underline{\sf \frac{2\sqrt{13}}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L(s)_{min}=L\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{1^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2}=\underline{\sf \frac{5}{3}}\end{align*}}$
図の対称性をうまく利用すると楽です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/12(月) 01:02:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2016
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