2016北海道大 文系数学４

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【解答】

　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3x}{x^2+2}\end{align*}}$ とおく。

　(１)
　　　Pは自然数なので　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3x}{x^2+2}\geqq 1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3x\geqq x^2+2\ \ \ \left(\because\ x^2+x>0\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\leqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq x\leqq 2\end{align*}}$
　　　これを満たす自然数xは、x=1またはx=2.
　　　　・x=1のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3\cdot 1}{1^2+2}=1\end{align*}}$
　　　　・x=2のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{3\cdot 2}{2^2+2}=1\end{align*}}$
　　　いずれの場合もPが自然数となるので、題意を満たすようなxの値は
　　　　　　　　　　x=1，2


　(２)
　　　(ⅰ) y=1のとき
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=P+1\end{align*}}$ なので、これが自然数になるとき、P＞0より
　　　　　　Pも自然数である。よって、(１)より、x=1，2

　　　(ⅱ) y≧2のとき
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{y}\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$ 　　・・・・・・(#)なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}\end{align*}}$ が自然数になるとき、Pは
　　　　　　　自然数ではない。これはx≠1かつx≠2、すなわちx≧3のときであり、
　　　　　　　このとき(１)よりP＜1となる。
　　　　　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt P+\frac{1}{y}<\frac{3}{2}\end{align*}}$ となり、これを満たす自然数は1のみなので、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{y}=1-P\end{align*}}$
　　　　　　　これと(#)より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-P\leqq\frac{1}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p=\frac{3x}{x^2+2}\geqq\frac{1}{2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 6x\geqq x^2+2\ \ \ \ \left(\because\ x^2+2>0\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-6x+2\leqq 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3-\sqrt7\leqq x\leqq3+\sqrt7\end{align*}}$
　　　　　　　これを満たす自然数x（≧3）は、x=3，4，5である。
　　　　　　　　　・x=3のとき
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=\frac{3\cdot 3}{3^2+2}+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{11}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　・x=4のとき
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=\frac{3\cdot 4}{4^2+2}+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=3\end{align*}}$
　　　　　　　　　・x=5のとき
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P+\frac{1}{y}=\frac{3\cdot 5}{5^2+2}+\frac{1}{y}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{9}{4}\end{align*}}$

　　　以上より、題意を満たすような自然数の組(x，y)は
　　　　　　　　　　　　　(x，y)=(1，1)、(2，1)、(4，3)



　　文系の問題でこれは難しいですね。