第３問
正の数nに対して、その（1と自分自身も含めた）すべての正の約数の
和をs(n)と書くことにする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) kを正の整数、pを3以上の素数とするとき、s(2kp)を求めよ。
(２) s(2016)を求めよ。
(３) 2016の正の約数nで、s(n)=2016となるものをすべて求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s\left(2^kp\right)&=\sf \sum_{L=0}^k2^L\cdot\sum_{M=0}^1p^M\\ &=\sf \frac{2^{k+1}-1}{2-1}\cdot\left(1+p\right)\\ &=\sf \underline{\sf \left(2^{k+1}-1\right)\left(p+1\right)}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s\left(2016\right)&=\sf \sum_{L=0}^52^L\cdot\sum_{M=0}^23^M\cdot\sum_{N=0}^i7^N\\ &=\sf 63\cdot 13\cdot 8\\ &=\sf \underline{\sf 6552}\end{align*}}$
(３)
2016の正の約数nは、整数a、b、cを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=2^a\cdot 3^b\cdot 7^c\ \ \left(0\leqq a\leqq 5\ \ ,\ \ 0\leqq b\leqq 2\ \ ,\ \ 0\leqq c\leqq 1\right)\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\left(n\right)=\sum_{L=0}^a2^L\cdot \sum_{M=0}^b3^M\cdot \sum_{N=0}^c7^N=2016\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\sum_{L=0}^a2^L\ \ ,\ \ B=\sum_{M=0}^b3^M\ \ ,\ \ C=\sum_{N=0}^c7^N\end{align*}}$
とおくと、A、B、Cの取りうる値はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=1,3,7,15,31,63\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=1,4,13\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C=1,8\end{align*}}$
このうちで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\left(n\right)=ABC=2016\end{align*}}$
を満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A,B,C\right)=\left(63,4,8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a,b,c\right)=\left(5,1,1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n=2^5\cdot 3^1\cdot 7^1=\underline{\ 672}\end{align*}}$
約数の和の求め方は知ってますよね？？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2016
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