第２問
nを正の整数とし、kを1≦k≦n+2を満たす整数とする。n+2のカードがあり、
そのうちの1枚には数字0が、ほかの1枚には数字2が、残りのn枚には数字1
が書かれている。このn+2枚のカードのうちから無作為にk枚のカードを取り
出すとする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 取り出したk枚のカードの書かれているすべての数字の積が1以上になる
確率を求めよ。
(２) 取り出したk枚のカードの書かれているすべての数字の積が2になる確率
Qn(k)を求めよ。
(３) 与えられたnに対して、確率Qn(k)が最大となるkの値と、その最大値を求
めよ。
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【解答】
(１)
カードの取り出し方の総数はnCk通り。
積が1以上になるためには、0以外のカードn+1枚の中からk枚
取り出せばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_{n+1}C_k}{_{n+2}C_k}=\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left(n-k+1\right)!}\cdot\frac{k!\left(n-k+2\right)!}{\left(n+2\right)!}=\underline{\sf \frac{n-k+2}{n+2}}\end{align*}}$
(２)
積が1になるのは、0と2以外のカードn枚の中からk枚取り出すとき
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_{n}C_k}{_{n+2}C_k}=\frac{\left(n\right)!}{k!\left(n-k\right)!}\cdot\frac{k!\left(n-k+2\right)!}{\left(n+2\right)!}=\frac{\left(n-k+2\right)\left(n-k+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\end{align*}}$
これと(１)より、積が2になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)=\frac{n-k+2}{n+2}-\frac{\left(n-k+2\right)\left(n-k+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\underline{\sf \frac{k\left(n-k+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}\end{align*}}$
(３)
(２)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)\lt Q_n\left(k+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{Q_n\left(k+1\right)}{Q_n\left(k\right)}=\frac{\frac{\left(k+1\right)\left(n-k+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}{\frac{k\left(n-k+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}}=\frac{\left(k+1\right)\left(n-k+1\right)}{k\left(n-k+2\right)}\gt 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(k+1\right)\left(n-k+1\right)\gt k\left(n-k+2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\lt \frac{n+1}{2}\end{align*}}$
同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)\gt Q_n\left(k+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ k\gt \frac{n+1}{2}\end{align*}}$
(ⅰ) nが偶数のとき、n=2m （m：自然数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(1\right)\lt Q_n\left(2\right)\lt \ldots \lt Q_n\left(m\right)\lt Q_n\left(m+1\right)\gt Q_n\left(m+2\right)\gt \ldots\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=m+1=\underline{\sf \frac{n+2}{2}}\end{align*}}$
のとき、最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)_{MAX}=\frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\underline{\sf \frac{n+2}{4\left(n+1\right)}}\end{align*}}$
(ⅱ) nが奇数のとき、n=2m-1 （m：自然数）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(1\right)\lt Q_n\left(2\right)\lt \ldots \lt Q_n\left(m\right)=Q_n\left(m+1\right)\gt Q_n\left(m+2\right)\gt \ldots\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=m,m+1=\underline{\sf \frac{n+1}{2}\ ,\ \frac{n+3}{2}}\end{align*}}$
のとき、最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n\left(k\right)_{MAX}=\frac{\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n+3}{2}}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\underline{\sf \frac{n+3}{4\left(n+2\right)}}\end{align*}}$
(３)は難しいかもしれませんね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2016
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