第１問
曲線y=x2上に2点A(-1，1)、B(b，b2)をとる。ただしb＞-1とする。
このとき、次の条件を満たすbの範囲を求めよ。
条件：y=x2上の点T(t，t2) （-1＜t＜b）で、∠ATBが直角になる
ものが存在する。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AT}=\left(t+1\ ,\ t^2-1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BT}=\left(t-b\ ,\ t^2-b^2\right)\end{align*}}$
∠ATB=90°なので、これら2つのベクトルの内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AT}\cdot\overrightarrow{\sf BT}&=\sf \left(t+1\right)\left(t-b\right)+\left(t^2-1\right)\left(t^2-b^2\right)\\ &=\sf \left(t+1\right)\left(t-b\right)\left\{1+\left(t-1\right)\left(t+b\right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\left(t-1\right)\left(t+b\right)=0\ \ \ \ \left(\because\ -1\lt t\lt b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2+\left(b-1\right)t-b+1=0\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
条件を満たすためには、(#)が-1＜t＜bの範囲に実数解をもてばよい。
まず(#)の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D&=\sf \left(b-1\right)^2-4\left(-b+1\right)\\ &=\sf b^2+2b-3\\ &=\sf \ｌｅｆｔ(b+3\ｒｉｇｈｔ)\ｌｅｆｔ(b-1\ｒｉｇｈｔ)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b\geqq 1\ \ \left(\because\ b\gt -1\right)\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
であり、(ⅰ)を満たすとき、(*)の2解をp、q （p≧q）とおく。
また、(*)の左辺をf(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=\left(t+\frac{b-1}{2}\right)^2-\frac{b^2+2b-3}{4}\end{align*}}$
(ⅰ) -1＜p≦q＜bのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)=-2b+3\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\lt \frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(b\right)=2b^2-2b+1=2\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\lt -\frac{b-1}{2}\lt b\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}\lt b\lt 3\end{align*}}$
これらと(A)を同時に満たすbの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq b\lt \frac{3}{2}\end{align*}}$
(ⅱ) -1=p＜q＜bのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{3}{2}\end{align*}}$
f(b)＞0は常に成り立つ。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\lt -\frac{b-1}{2}\lt b\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}\lt b\lt 3\end{align*}}$
これらと(A)を同時に満たすbの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{3}{2}\end{align*}}$
(ⅲ) -1＜p＜q=bのとき
常にf(b)＞0なので、この場合はあり得ない。
(ⅳ) -1＜p＜b＜q または p＜-1＜q＜bのとき
常にf(b)＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(-1\right)\lt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{2}\lt b\end{align*}}$
これは(A)も満たす
(ⅰ)～(ⅳ)より、題意を満たすbの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 1\leqq b}\end{align*}}$
である。
二次方程式の解の配置の問題です。丁寧に場合分けしましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
