2016名古屋大 理系数学４

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【解答】

　(１)
　　　解と係数の関係より
　　　　　　c+d=-a　　・・・・・・①　　　　cd=b　　・・・・・・②
　　　　　　e+f=-c　　・・・・・・③　　　　ef=d　　・・・・・・④
　　　　　　a+b=-e　　・・・・・・⑤　　　　ab=f　　・・・・・・⑥
　　　②、④、⑥を辺々かけると
　　　　　　　　　abcdef=bdf　　・・・・・・⑦
　　　　・b=0のとき
　　　　　　　④、⑥より、d=f=0
　　　　　　　これと①、③、⑤よりa=c=e=0 となるので、
　　　　　　　　　　　a=b=c=d=e=f=0
　　　　・d=0 および f=0のときも同様
　　　　・bdf≠0のとき
　　　　　　　⑦より、ace=1　　　・・・・・・⑧
　　　　　　　a、c、eは整数なので、|a|=|c|=|e|=1　　・・・・・・⑨
　　　　　　　bdf≠0と、①、③、⑤より
　　　　　　　　　　c≠-a かつ e≠-c かつ a≠-e
　　　　　　　このことと、⑧、⑨より、a=c=e=1
　　　　　　　このとき、①、③、⑤より b=d=f=-2

　　　以上より、条件(*)を満たす整数a～fの組は、
　　　　　(a，b，c，d，e，f)=(0，0，0，0，0，0)、(1，-2，1，-2，1，-2)


　(２)(ⅰ)
　　　二次方程式
　　　　　　　　　　x²+a_nx+b_n=0　　　・・・・・・(#)
　　　は、任意の自然数nに対して実数解をもつので、判別式を考えると、
　　　　　　　　　a_n²-4b_n≧0　　　・・・・・・(A)
　　　また、(#)の解がa_n+1とb_n+1なので、解と係数の関係より、
　　　任意の自然数nに対して
　　　　　　　　　a_n+1+b_n+1=-a_n　　・・・・・・(B)
　　　　　　　　　a_n+1b_n+1=b_n　　 　・・・・・・(C)
　　　が成り立つ。

　　　(Ⅰ) a_k=0となるkが存在するとき
　　　　　　　(B)より、a_k+1+b_k+1=-a_k=0
　　　　　　　これと
　　　　　　　　　　　a_k+2+b_k+2=-a_k+1
　　　　　　　　　　　a_k+2b_k+2=b_k+1　
　　　　　　　より、a_k+1bとb_k+1を消去すると、
　　　　　　　　　　 a_k+2b_k+2-a_k+2-b_k+2=0　⇔　(a_k+2-1)(b_k+2-1)=1
　　　　　　　となり、a_k+2、b_k+2はともに整数なので、
　　　　　　　　　　　(ア) a_k+2=b_k+2=2　または　(イ) a_k+2=b_k+2=0
　　　　　　　である。

　　　　　　　　(ア)のときは、(A)を満たさないので不適。
　　　　　　　　(イ)のとき、(#)はx²=0となり、解はx=0である。
　　　　　　　　よって、a_k+3=b_k+3=0となる。
　　　　　　　　以下も帰納的に、a_n=b_n=0 （n≧k+4）が成り立つ。
　　　　　　
　　　　　　　　以上より、a_k=0となるkに対して、
　　　　　　　　　　　|b_k+2|=|b_k+3|=|b_k+4|=|b_k+5|=・・・=0
　　　　　　　　が成り立つ。

　　　(Ⅱ) すべてのnに対してa_n≠0であるとき
　　　　　　　|a_n+1|≧1なので、(C)より
　　　　　　　　　　|b_n|=|a_n+1||b_n+1|≧|b_n+1|
　　　　　　　これがすべてのnに対して成り立つので、
　　　　　　　　　　|b₁|≧|b₂|≧・・・≧|b_n|≧|b_n+1|≧|b_n+2|≧・・・≧0
　　　　　　　これらはすべて整数値をとるので、
　　　　　　　　　　|b_m|=|b_m+1|=|b_m+2|=・・・
　　　　　　　となる自然数mが存在する。（ずっと減り続けるわけにはいかない！）

　　　(Ⅰ)、(Ⅱ)より題意は示された。


　(２)(ⅱ)
　　　(ⅰ)より、
　　　　　　　　　　|b_m|=|b_m+1|=|b_m+2|=・・・=N （N：0以上の整数）
　　　となる自然数mが存在する。

　　　(Ⅲ) N=0のとき
　　　　　　　　　　b_m=b_m+1=b_m+2=・・・=0
　　　　　　であり、これと(C)より、b_m-1=a_mb_m=0
　　　　　　以下も帰納的に、
　　　　　　　　　b_m-2=b_m-3=・・・=b₂=b₁=0
　　　　　　よって、(B)より、任意の自然数nに対して a_n+1=-a_nとなるので、
　　　　　　数列{a_n}は、公比-1の等比数列をなす。
　　　　　　よって、a₁=aとおくと、a_n=(-1)^n-1a

　　　(Ⅳ) N≧1のとき
　　　　　　(C)より、n≧mの自然数nに対して
　　　　　　　　　|a_n+1||b_n+1|=|b_n|　⇔　|a_n+1|N=N
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　|a_n+1|=1 （∵ N≠0）
　　　　　　これと(A)より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}\leqq\frac{a_{n+1}^{\ 2}}{4}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　　　　であり、|b_n+1|=Nなので、b_n+1=-N＜0 （∵ Nは自然数）。
　　　　　　これと(C)より
　　　　　　　　　　　a_n+1・(-N)=-N　⇔　a_n+1=1　（n≧m）　　　・・・・・・⑩
　　　　　　であり、(B)より
　　　　　　　　　　　1+b_n+1=-1　⇔　b_n+1=-2　（n≧m）　　　・・・・・・⑪
　　　　　　⑩、⑪と(B)、(C)より
　　　　　　　　　　　　a_m=-(a_m+1+b_m+1)=1
　　　　　　　　　　　　b_m=a_m+1b_m+1=-2
　　　　　　以下も帰納的に、
　　　　　　　　　　　　a_m-1=a_m-2=・・・=a₂=a₁=1
　　　　　　　　　　　　b_m-1=b_m-2=・・・=b₂=b₁=-2
　　　　　　が成り立つので、任意の自然数nに対して
　　　　　　　　　　　　a_n=1、　b_n=-2

　　　以上より、条件(**)を満たす数列{a_n}、{b_n}の一般項は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a_n\ ,\ b_n\right)=\underline{\sf \left(\left(-1\right)^{n-1}a\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(1\ ,\ -2\right)}\end{align*}}$　　（aは整数）




　　(２)は難しいですねぇ・・・・ 誰も手付かずだったのでは（笑）？