第３問
玉が2個ずつ入った2つの袋A、Bがあるとき、袋Bから玉を1個取り出して
袋Aに入れ、次に袋Aから玉を1個取り出して袋Bに入れる。という操作を
1回の操作と数えることにする。Aに赤玉が2個、Bに白玉が2個入った状態
から始め、この操作をn回繰り返したのちに袋Bに入っている赤玉の個数
がk個である確率をPn(k) （n=1，2，3，・・・）とする。このとき、次の問い
に答えよ。
(１) k=0，1，2に対するP1(k)を求めよ。
(２) k=0，1，2に対するPn(k)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、赤玉を●、白玉を○で表し、【袋Aの玉、袋Bの玉】のように
表すことにする。例えば、始めの状態（Aに赤2個、Bに白2個）は、
【●●、○○】と表される。
(１)
1回の操作で
【●●、○○】→【●●○、○】→【●●、○○】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
【●●、○○】→【●●○、○】→【●○、●○】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_1\left(0\right)=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ P_1\left(1\right)=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ P_1\left(2\right)=0}\end{align*}}$
(２)
(１)と同様、1回の操作で
【○○、●●】→【●○○、●】→【○○、●●】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
【○○、●●】→【●○○、●】→【●○、●○】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
また、１回の操作で
【●○、●○】→【●●○、○】→【●●、○○】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
【●○、●○】→【●●○、○】→【●○、●○】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
【●○、●○】→【●○○、●】→【●○、●○】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
【●○、●○】→【●○○、●】→【○○、●●】と変化する確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
なので、n≧2の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(0\right)=\frac{1}{3}P_{n-1}\left(0\right)+\frac{1}{6}P_{n-1}\left(1\right)\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (i)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(1\right)=\frac{2}{3}P_{n-1}\left(0\right)+\frac{2}{3}P_{n-1}\left(1\right)+\frac{2}{3}P_{n-1}\left(2\right)\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(2\right)=\frac{1}{3}P_{n-1}\left(2\right)+\frac{1}{6}P_{n-1}\left(1\right)\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (iii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_n\left(0\right)+P_n\left(1\right)+P_n\left(2\right)=P_{n-1}\left(0\right)+P_{n-1}\left(1\right)+P_{n-1}\left(2\right)=1\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (iv)\end{align*}}$
が成り立つ。
(ⅱ)、(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(1\right)=\frac{2}{3}\bigg\{P_{n-1}\left(0\right)+P_{n-1}\left(1\right)+P_{n-1}\left(2\right)\bigg\}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
これと(ⅳ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(0\right)+P_{n}\left(2\right)=1-P_{n}\left(1\right)=\frac{1}{3}\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (v)\end{align*}}$
一方、(ⅰ)-(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(0\right)-P_{n}\left(2\right)=\frac{1}{3}\bigg\{P_{n-1}\left(0\right)-P_{n-1}\left(2\right)\bigg\}\end{align*}}$
なので、数列{Pn(0)-Pn(2)}は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(0\right)-P_{n}\left(2\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\bigg\{P_{1}\left(0\right)-P_{1}\left(2\right)\bigg\}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (vi)\end{align*}}$
(ⅴ)、(ⅵ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(0\right)=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}\ \ ,\ \ P_{n}\left(2\right)=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}\end{align*}}$
これらはn=1の時も成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_{n}\left(0\right)=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}\ \ ,\ \ P_{n}\left(1\right)=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ P_{n}\left(2\right)=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}}\end{align*}}$
これはよくある問題なので大丈夫でしょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2016
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