第２問
2つの円C：(x-1)2+y2=1とD：(x+2)2+y2=72を考える。また原点を
O(0，0)とする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) 円C上に、y座標が正であるような点Pをとり、x軸の正の部分と線分OP
のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。このとき、点Pの座標と線分OPの長さを$\small\sf{\theta}$ を用いて
表せ。
(２) (１)でとった点Pを固定したまま、点Qが円D上を動くとき、△OPQの面積
が最大になるときのQの座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(３) 点Pが円C上を動き、点Qが円D上を動くとき、△OPQの面積の最大値を
求めよ。ただし、(２)、(３)においては、3点O、P、Qが同一直線上にある
ときは、△OPQの面積は0であるとする。
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【解答】
(１)
点Pのy座標が正なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(i)
点(2，0)をAとおくと、OAは円Cの直径となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP=OA\cos\angle AOP=\underline{\sf 2\cos \theta}\end{align*}}$
よって、点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(OP\cos\theta\ ,\ OP\sin\theta\right)=\underline{\sf \left(2\cos^2\theta\ ,\ 2\sin\theta\cos\theta\right)}\end{align*}}$
(２)
円Dは中心(-2，0)、半径7の円なので、D上の点Qは実数tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-2+7\cos t\ ,\ 7\sin t\right)\ \ \ \left(0\leqq t<2\pi\right)\end{align*}}$
と表すことができる。
よって、点Pを(１)の位置に固定したときの△OPQの面積をS(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\left(t\right)=\frac{1}{2}\bigg|2\cos^2\theta\cdot 7\sin t-2\sin\theta\cos\theta\left(-2+7\cos t\right)\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sf \bigg|7\sin t\cos\theta-7\cos t\sin\theta+2\sin\theta\bigg|\cos\theta\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sf \bigg|7\sin\left( t-\theta\right)+2\sin\theta\bigg|\cos\theta\end{align*}}$ ←加法定理
(ⅰ)よりsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0なので、S(t)が最大値となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left( t-\theta\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ t-\theta=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\theta+\frac{\pi}{2}\ \ \ \left(\because\ (i)\right)\end{align*}}$
のときであり、S(t)の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\left(t\right)_{max}=S\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\left(7+2\sin\theta\right)\cos\theta\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
このとき、Qの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-2+7\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ 7\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right)=\underline{\sf \left(-2-7\sin\theta\ ,\ 7\cos\theta\right)}\end{align*}}$
(３)
(ⅱ)で求めたS(t)の最大値を$\scriptsize\sf{\theta}$ の関数とみなしてT($\scriptsize\sf{\theta}$ )とおくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\left(\theta\right)=\left(7+2\sin\theta\right)\cos\theta\ \ \ \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T\ '\left(\theta\right)&=\sf 2\cos^2\theta+\left(7+2\sin\theta\right)\cdot\left(-\sin\theta\right)\\ &=\sf 2\left(1-\sin^2\theta\right)-7\sin\theta-2\sin^2\theta\\ &=\sf -4\sin^2\theta-7\sin\theta+2\\ &=\sf -\left(4\sin\theta-1\right)\left(\sin\theta+2\right)\end{align*}}$
(ⅰ)の範囲で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin \theta=\frac{1}{4}\end{align*}}$
となる$\scriptsize\sf{\theta}$ がただ1つ存在するので、その値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{1}{4}\ ,\ \cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}\ (>0)\end{align*}}$
であり、T($\scriptsize\sf{\theta}$ )の増減は次のようになる。
よって、(ⅰ)の範囲におけるT($\scriptsize\sf{\theta}$ )の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T\left(\theta\right)_{max}&=\sf T\left(\alpha\right)\\ &=\sf \left(7+2\cdot\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}\\ &=\sf \frac{15\sqrt{15}}{8}\end{align*}}$
円CおよびDはx軸について対称なので、点Pのy座標が負のときも
同様に考えられる。
一方、PがOと一致するとき、△OPQ=0であり、
PがAと一致するとき、△OPQの面積の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cdot 7\cdot\frac{1}{2}=7<\frac{15\sqrt{15}}{8}\end{align*}}$ ．
以上より、△OPQの面積の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{15\sqrt{15}}{8}}\end{align*}}$
である。
これは頑張って完答したいです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/24(水) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2016
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