第４問
aを実数とし、f(x)=x3-3axとする。-1≦x≦1における|f(x)|の
最大値をMとする。Mの最小値とそのときのaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^3-3ax=x\left(x^2-3a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2-3a=3\left(x^2-a\right)\end{align*}}$
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\ f\left(-x\right)\right|&=\sf \left|\left(-x\right)^3-3a\cdot\left(-x\right)\right|\\ &=\sf \left|-\left(x^3-3ax\right)\right|\\ &=\sf \left|x^3-3ax\right|\\ &=\sf \left|\ f(x)\right|\end{align*}}$
なので、関数y=|f(x)|のグラフはy軸について対称である。
よって、以下は0≦x≦1の範囲で考える。
(Ⅰ) a≦0のとき
0≦x≦1で常にf’(x)≧0なので、f(x)は単調に増加し、
f(x)≧0より、|f(x)|の最大値Mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(1)\right|=1-3a\ \ ,\ \ \frac{dM}{da}=-3\ <0\end{align*}}$
(Ⅱ) 0＜aのとき
f(x)の増減およびy=f(x)の概形は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|f(x)\right|=\left\{\begin{matrix}\sf -x^3+3ax& \left (\sf 0\leqq x\leqq\sqrt{3a} \right )\\ \sf x^3-3ax& \left (\sf \sqrt{3a}\leqq x \right )\end{matrix}\right.\end{align*}}$
であり、y=|f(x)|のグラフの概形は次のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left|f\left(\sqrt{a}\right)\right|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^3-3ax+2a\sqrt{a}=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x+\sqrt{a}\right)^2\left(x-2\sqrt{a}\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=2\sqrt{a}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0\lt a<\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt{a}<1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(1)\right|=1-3a\ \ ,\ \ \frac{dM}{da}=-3\ <0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{1}{4}\leqq a\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{a}\leqq 1\leqq 2\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(a)\right|=-a^3+3a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dM}{da}=-3a^2+6a=-3a\left(a-2\right)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ 1\lt a\ \ \Leftrightarrow\ \ 1<\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(1)\right|=3a-1\ \ ,\ \ \frac{dM}{da}=3\ >0\end{align*}}$
(Ⅰ)と(Ⅱ)の(ⅰ)～(ⅲ)より、Mの増減は次のようになる。
よって、Mの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf M_{min}=\frac{1}{4}\ \ \ \left(a=\frac{1}{4}\right)}\end{align*}}$
細かい場合分けが面倒です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/15(木) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
