第５問[Ⅰ]
平面上の2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は零ベクトルではなく、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ のなす
角度は60°である。このとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{\left|\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|2\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right|}\end{align*}}$
のとりうる値の範囲を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\left|\overrightarrow{\sf a}\right|\left|\overrightarrow{\sf b}\right|\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf a}\right|\left|\overrightarrow{\sf b}\right|\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2= \frac{\left|\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\right|^2}{\left|2\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right|^2}=\sf \frac{\left|\overrightarrow{\sf a }\right|^2+2\left|\overrightarrow{\sf a }\right|\left|\overrightarrow{\sf b }\right|+4\left|\overrightarrow{\sf b }\right|^2}{4\left|\overrightarrow{\sf a }\right|^2+2\left|\overrightarrow{\sf a }\right|\left|\overrightarrow{\sf b }\right|+\left|\overrightarrow{\sf b }\right|^2} \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|}\ (>0)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=\frac{1+2\cdot\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|}+4\cdot\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2}}{4+2\cdot\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|}+\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2}}=\frac{4x^2+2x+1}{x^2+2x+4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x^2+2x+4\right)r^2=4x^2+2x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(r^2-4\right)x^2+2\left(r^2-1\right)x+4r^2-1=0\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
と変形でき、xについての方程式(A)がｘ＞0の実数解をもつような
r（＞0）の範囲を求めればよい。
(Ⅰ) r2=4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ 6x+15=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{5}{2}<0\end{align*}}$
となり不適。
(Ⅱ) r2≠4のとき
まず(A)の判別式を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4&=\sf \left(r^2-1\right)^2-\left(r^2-4\right)\left(4r^2-1\right)\\ &=\sf -3r^4+15r^2-3\\ &=\sf -3\left(r^4-5r^2+1\right)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{5-\sqrt{21}}{2}\leqq r^2\leqq\frac{5+\sqrt{21}}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(B)
rが(B)を満たすとき(A)は2つの実数解をもつ。
それらをp、q（p≦q）とおくと、q＞0となればよい。
まず、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-\frac{2\left(r^2-1\right)}{r^2-4}\ \ ,\ \ pq=\frac{4r^2-1}{r^2-4}\end{align*}}$ ・・・・・・(C)
(ⅰ) p=0のとき
(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ q=-\frac{2}{5}<0\end{align*}}$
となり不適
(ⅱ) p＜0のとき
q＞0なので、(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\frac{4r^2-1}{r^2-4}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4r^2-1\right)\left(r^2-4\right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\lt r^2<4\end{align*}}$
これは(B)を満たす
(ⅲ) p＞0のとき
q＞0なので、(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-\frac{2\left(r^2-1\right)}{r^2-4}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(r^2-1\right)\left(r^2-4\right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\lt r^2<4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\frac{4r^2-1}{r^2-4}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ (0<)\ r^2<\frac{1}{4}\ ,\ 4\lt r^2\end{align*}}$
これらを同時に満たすrは存在しない。
(Ⅰ)および(Ⅱ)の(ⅰ)～(ⅲ)より、正数rの取りうる値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\lt r^2<4\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \frac{1}{2}\lt r<2}\end{align*}}$
第５問の[１]と[２]は選択問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/15(木) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .一橋大 2016
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