第５問
次のように媒介変数表示されたxy平面上の曲線をCとする：
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{\begin{matrix}\sf x=3\cos t-\cos 3t \\ \sf y=3\sin t-\sin 3t\end{matrix}\right.\end{align*}}$
ただし、0≦t≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ である。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dt}\end{align*}}$ を計算し、Cの概形を図示せよ。
(２) Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{dt}&=\sf -3\sin t+3\sin3t\\ &=\sf -3\sin t+3\left(3\sin t-4\sin^3t\right)\\ &=\sf 6\sin t\left(1-2\sin^2t\right)\\ &=\sf 6\sin t\cos 2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dt}&=\sf 3\cos t-3\cos 3t\\ &=\sf 3\cos t-3\left(4\cos^3t-3\cos t\right)\\ &=\sf 3cos t\left(1-\cos^2t\right)\\ &=\sf 3cos t\sin^2t\end{align*}}$
これらより、xとyの増減および曲線Cの概形は次のようになる。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\begin{matrix}\sf x=3\cos t-\cos 3t \\ \sf y=3\sin t-\sin 3t\end{matrix}\right.\end{align*}}$
と置換すると、Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^4x\ dy\\ &=\sf \int_0^{\pi /2}\left(3\cos t-\cos 3t\right)\left(3\cos t-3\cos 3t\right)dt\\ &=\sf \int_0^{\pi /2}\left(3\cos^23t-12\cos3t\cos t+9\cos^2t\right)dt\\ &=\sf 3\int_0^{\pi/2}\left\{\frac{1+\cos 6t}{2}-2\left(\cos 4t+\cos 2t\right)+3\cdot\frac{1+\cos 2t}{2}\right\}dt\\ &=\sf \frac{3}{2}\int_0^{\pi/2}\left(\cos 6t-4\cos 4t-\cos 2t+4\right)dt\\ &=\sf \frac{3}{2}\left[\frac{1}{6}\sin 6t-\sin 4t-\frac{1}{2}\sin 2t+4t\right]_0^{\pi /2}\\ &=\sf \underline{\sf 3\pi}\end{align*}}$
これはよくある問題ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/18(日) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2016
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