第４問
nを2以上の自然数とする。
(１) nが素数または4のとき、(n-1)!はnで割り切れないことを示せ。
(２) nが素数でなくかつ4でもないとき、(n-1)!はnで割り切れること
を示せ。
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【解答】
(１)
(ⅰ) n=4のとき
(4-1)!=6なので、これは4で割り切れない
(ⅱ) nが素数のとき
nの約数は1とnのみなので、
nは1，2，3，・・・，n-1のすべてと互いに素である。
よって、(n-1)!はnで割り切れない
(２)
nは素数でないので、素数aと自然数bとの積
n=ab
の形で表される。
(ⅲ) a≠bのとき
a＜n、b＜nなので、a、bはともに1，2，3，・・・，n-1の中に
含まれる。よって、(n-1)!はnで割り切れる。
(ⅳ) a=bのとき
n=a2であり、nは素数かつn≠4なのでa＞2である。
このとき、
n-2a=a2-2a=a(a-2)＞0
となるので、aと2aはともに1，2，3，・・・，n-1の中に含まれる。
よって、(n-1)!はnで割り切れる。
(ⅳ)の場合を忘れないように！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/18(日) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2016
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