第３問
水平な平面$\small\sf{\alpha}$ の上に半径r1の球S1と半径r2の球S2が乗っており、
S1とS2は外接している。
(１) S1、S2が$\small\sf{\alpha}$ と接する点をそれぞれP1、P2とする。線分P1P2の
長さを求めよ。
(２) $\small\sf{\alpha}$ の上に乗っており、S1とS2の両方に外接している球すべてを
考える。それらの球と$\small\sf{\alpha}$ の接点は、1つの円の上または1つの直線
の上にあることを示せ。
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【解答】
r1≧r2としても一般性を失わない。
(１)
球S1、S2の中心をそれぞれO1、O2とし、S1とS2の接点をT、
O2からO1P1に下した垂線の足をHとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O_1O_2=O_1T+O_2T=r_1+r_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O_1H=O_1P_1-O_2P_2=r_1-r_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1P_2=\sqrt{\left(r_1+r_2\right)^2-\left(r_1-r_2\right)^2}=\underline{\sf 2\sqrt{r_1r_2}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ の上に乗っている球SがS1とS2の両方に外接しているとし、
Sの半径をr、Sと平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ の接点をPとすると、(１)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PP_1=2\sqrt{rr_1}\ \ ,\ \ PP_2=2\sqrt{rr_2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PP_1:PP_2=\sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$
(ⅰ) r1=r2のとき
Pは2点P1、P2から等距離にある点なので、線分P1P2の
垂直二等分線上にある。
(ⅱ) r1≠r2のとき
Pは2点P1、P2からの距離の比が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$ である点なので、
線分P1P2 を$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$ の比に内分する点をA
線分P1P2 を$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$ の比に外分する点をB
とすると、ABを直径とするアポロニウスの円周上にある。
教科書にも載っているので「アポロニウスの円」知ってますよね???
知らない人は、座標を設定して計算してください。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/18(日) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2016
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