2016東京工業大 数学２

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【解答】

　(１)
　　　△PQRが正三角形になるとき、△BPRと△CQPにおいて、
　　　　　　　　　PR=QP
　　　　　　　　　∠PBR=∠QCP=60°
　　　　　　　　　∠BPR=180°－∠RPQ－∠CPQ
　　　　　　　　　　　　　 =180°－∠PCQ－∠CPQ
　　　　　　　　　　　　　 =∠CQP
　　　となるので、△BPR≡△CQPとなり、BP=CQ.
　　　同様に、△CQP≡△ARQより、CQ=ARとなるので、
　　　　　　　BP=CQ=AR　⇔　X=Y=Z
　　　が成り立つ。
　　　よって、△PQRが正三角形となる確率は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{36}}\end{align*}}$

　(２)
　　　T₁とT₂のみが正三角形になる場合
　　　　　　　　　X=6-Z　かつ　6-X=Y　かつ　Z≠6-Y
　　　　　　⇔　X+Z=X+Y=6　かつ　Y+Z≠6
　　　　　　⇔　6-X=Y=Z≠3
　　　これを満たすX、Y、Zの組は
　　　　　　(X，Y，Z)=(1，5，5)、(2，4，4)、(4，2，2)、(5，1，1)
　　　の4組である。
　　　T₂とT₃のみが正三角形になる場合、T₃とT₁のみが正三角形になる
　　　場合も同様に考えると、求める確率は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\times 3}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{18}}\end{align*}}$


　(３)
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle ABC-\left(T_1+T_2+T_3\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot 6^2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\bigg\{X\left(6-Z\right)+Y\left(6-X\right)+Z\left(6-Y\right)\bigg\}\sin\frac{\pi}{3}\\ &=\sf 9\sqrt3-\frac{\sqrt3}{4}\bigg\{6\left(X+Y+Z\right)-\left(XY+YZ+ZX\right)\bigg\}\end{align*}}$
　　　{ 　}内をTとすると、
　　　　　　　　　T=(6-Y-Z)X+6Y+6Z-YZ
　　　であり、Sが最小になるのはTが最大となるときである。
　　　まず、YとZの値を固定し、TをXについての関数とみなすと、
　　　　(ⅰ) Y+Z＜6のとき
　　　　　　　6-Y-Z＞0なので、X=6のときTは最大となり、その値は
　　　　　　　　　　　T=6(6-Y-Z)+6Y+6Z-YZ
　　　　　　　　　　　　=36-YZ
　　　　　　　さらにY、Zの値を動かすと、Y=Z=1のときTは最大となり
　　　　　　　　　　　T=36-1・1=35

　　　　(ⅱ) Y+Z=6のとき
　　　　　　　　　　　T=0+6・6-YZ
　　　　　　　　　　　　=36-Y(6-Y)
　　　　　　　　　　　　=(Y-3)²+27
　　　　　　　これが最大になるのは、Y=1またはY=5のときであり、
　　　　　　　その値はT=31≦35

　　　　(ⅲ) Y+Z＞6のとき
　　　　　　　6-Y-Z＜0なので、X=1のときTは最大となり、その値は
　　　　　　　　　　　　T=(6-Y-Z)+6Y+6Z-YZ
　　　　　　　　　　　　　=(5-Z)Y+5Z+6
　　　　　　　・Z=6のとき
　　　　　　　　　　T=-Y+36 であり、Y=1のときTは最大値35をとる
　　　　　　　・Z=5のとき
　　　　　　　　　　　　T=31≦35
　　　　　　　・Z＜5のとき
　　　　　　　　　　5-Z＜0なので、Y=6のときTは最大となり、
　　　　　　　　　　　　T=36-Z
　　　　　　　　　　これはZ=1のときに最大値35をとる

　　　以上より、
　　　　　　(X，Y，Z)=(6，1，1)、(1，6，1)、(1，1，6)
　　　のとき、Tは最大値6をとるので、Sの最小値mは　　　　　　　
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=9\sqrt3-\frac{\sqrt3}{4}\cdot 35=\underline{\sf \frac{\sqrt3}{4}}\end{align*}}$

　　　また、S=mとなる確率は、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{72}}\end{align*}}$




　　(３)が面倒です。