第４問
鋭角三角形△ABCにおいて、頂点A、B、Cから各対辺に垂線AD、
BE、CFを下ろす。これらの垂線は垂心Hで交わる。このとき、以下
の問いに答えよ。
(１) 四角形BCEFとAFHEが円に接することを示せ。
(２) ∠ADE=∠ADFであることを示せ。
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【解答】
(１)
四角形BCEFにおいて、
∠BFC=∠BEC=90°
なので、円周角の定理の逆より
4点B、C、E、Fは同一円周上にある。
よって、四角形BCEFは円に内接する。
一方、四角形AFHEにおいて、
∠AFH+∠AEH=180°
なので、内接四角形の定理の逆より、
四角形AFHEは円に内接する。
(２)
(１)より、四角形BCEFは円に内接するので、円周角の定理より
∠ECH=∠FBH
また、(１)と同様に考えると、四角形CEHD、BDHFも円に内接
するので、円周角の定理より、
∠ECH=∠HDE
∠FBH=∠HDF
以上より、
∠HDE=∠HDF すなわち ∠ADE=∠ADF
が成り立つ。
理系との共通問題ですが簡単です
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/29(月) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 文系 2016
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