2016東北大 文系数学１

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ に成分を代入すると、　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x,y\right)=s\left(3,1\right)+t\left(1,2\right)=\left(3s+t,s+2t\right)\end{align*}}$
　　　これをs、tについて解くと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{2x-y}{5}\ ,\ t=\frac{-x+3y}{5}\end{align*}}$
　　　これらをs、tについての条件に代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq s\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq\frac{2x-y}{5}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2x-5\leqq y\leqq 2x+5\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq t\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq\frac{-x+3y}{5}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\leqq y\leqq \frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq s+t\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -1\leqq\frac{x+2y}{5}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\leqq y\leqq -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{align*}}$
　　　これらを同時に満たす領域Dを図示すると、下図のようになる。
　　　（境界線上の点も含む）
　　　ただし、図中の各点の座標は
　　　　　　　P₁(3，1)、P₂(1，2)、P₃(-2，1)
　　　　　　　P₄(-3，-1)、P₄(-1，-2)、P₆(2，-1)

　　　　　



　(２)
　　　求める内積をkとおくと、P、Cの座標はそれぞれ(x，y)、(-1，1)なので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=-x+y\ \ \Leftrightarrow\ \ y=x+k\end{align*}}$
　　　となり、この式は、傾き1、切片kの直線（Lとする）を表す。
　　　Lが領域Dと共有点をもつように動くとき、切片kが最大になるのは、
　　　P₃を通るときである。
　　　よって、P(-2，1)のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ は最大となり、その値は3である。
　　　
　　　　　




　　(１)は、成分で考える方が楽です。