第４問
多項式P(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf P(x)=\frac{\left(x+i\right)^7-\left(x-i\right)^7}{2i}\end{align*}}$
により定める。ただし、iは虚数単位とする。以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7\end{align*}}$ とするとき、
係数a0、・・・、a7をすべて求めよ。
(２) 0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7\theta}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(３) (１)で求めたa1、a3、a5、a7を用いて、多項式
$\small\sf{\begin{align*} \sf Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7\end{align*}}$
を考える。$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{7}\end{align*}}$ として、k=1，2，3について
$\small\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{\cos^2k\theta}{\sin^2k\theta}\end{align*}}$
とおく。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf Q\left(x_k\right)=0\end{align*}}$ が成り立つことを示し、x1+x2+x3の
値を求めよ。
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【解答】
(１)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x+i\right)^7&=\sf _7C_0x^7+_7C_1x^6i+_7C_2x^5i^2+_7C_3x^4i^3+_7C_4x^3i^4+_7C_5x^2i^5+_7C_6xi^6+_7C_7i^7\\ &=\sf x^7+7ix^6-21x^5-35ix^4+35x^3+21ix^2-7x-i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-i\right)^7=\sf x^7-7ix^6-21x^5+35ix^4+35x^3-21ix^2-7x+i\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(x)&=\sf \frac{2\left(7ix^6-35ix^4+21ix^2-i\right)}{2i}\\ &=\sf 7x^6-35x^4+21x^2-1 \end{align*}}$
よって、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a_0=a_2=a_4=a_6=0\ ,\ a_1=7\ ,\ a_3=-35\ ,\ a_5=21\ ,\ a_7=-1}\end{align*}}$
(２)
ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)&=\sf \frac{\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}+i\right)^7-\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}-i\right)^7}{2i}\\ &=\sf \frac{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^7-\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)^7}{2i\sin^7\theta}\\ &=\sf \frac{\left(\cos 7\theta+i\sin 7\theta\right)-\left(\cos 7\theta-i\sin 7\theta\right)}{2i\sin^7\theta}\\ &=\sf \frac{2i\sin 7\theta}{2i\sin^7\theta}\\ &=\sf \frac{\sin 7\theta}{\sin^7\theta}\end{align*}}$
(３)
k=1，2，3に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q\left(x_k\right)&=\sf a_1x_k^{\ 3}+a_3x_k^{\ 2}+a_5x_k+a_7\\ &=\sf a_1\left(\frac{\cos^2k\theta}{\sin^2k\theta}\right)^{ 3}+a_3\left(\frac{\cos^2k\theta}{\sin^2k\theta}\right)^{ 2}+a_5\cdot\frac{\cos^2k\theta}{\sin^2k\theta}+a_7\\ &=\sf a_1\left(\frac{\cos k\theta}{\sin k\theta}\right)^{6}+a_3\left(\frac{\cos k\theta}{\sin k\theta}\right)^{ 4}+a_5\left(\frac{\cos k\theta}{\sin k\theta}\right)^{2}+a_7\\ &=\sf P\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)\\ &=\sf \frac{\sin 7\theta}{\sin^7\theta}\ \ \ \ \ \ \ \leftarrow\ (2)\\ &=\sf \frac{\sin k\pi}{\sin^7\frac{k\pi}{7}}\\ &=\sf 0\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\pi}{7}<\frac{2\pi}{7}<\frac{3\pi}{7}<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{\cos^2k\theta}{\sin^2k\theta}=\frac{1}{\tan^2\frac{k\pi}{7}}\ \ \ \left(k=1,2,3\right)\end{align*}}$
の値はすべて異なる。
よって、x1、x2、x3は3次方程式 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q(x)=0\end{align*}}$ の3解となるので、
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2+x_3=-\frac{a_3}{a_1}=\underline{\sf 5}\end{align*}}$
よくできた問題ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/28(日) 01:14:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2016
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