第３問
サイコロを3回振って出た目の数をそれぞれ順にa、b、cとする。
以下の問いに答えよ。
(１) a、b、cがある直角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。
(２) a、b、cがある鈍角三角形の3辺の長さとなる確率を求めよ。
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【解答】
サイコロの目a、b、cの出方の総数は63通りある。
(１)
三角形の3辺の長さをp、q、r （6≧p≧q≧r≧1）とすると、
三角形の成立条件より、
p＜q+r ・・・・・・(ⅰ)
三角形が直角三角形となるので、
p2=q2+r2 ・・・・・・(ⅱ)
(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たすような整数の組(p，q，r)は(5，4，3)
のみである。
(p，q，r)と(a，b，c)の対応は3!通りの場合があるので、
三角形が直角三角形になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3!}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{36}}\end{align*}}$
(２)
三角形が鈍角三角形となるのは、
p2＞q2+r2 ・・・・・・(ⅲ)
となるときでなので、
(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たすような整数の組(p，q，r)を考える。
(ア) p＞q=rの場合
(3，2，2)、(5，3，3)、(6，4，4)の3組が考えられ、
(p，q，r)と(a，b，c)の対応は3通りずつある。
(イ) p＞q＞rの場合
(4，3，2)、(5，4，2)、(6，5，3)、(6，5，2)、(6，4，3)
の5組が考えられ、(p，q，r)と(a，b，c)の対応は3！通り
ずつある。
(ウ) p=q＞r および p=q=rの場合は(ⅲ)を満たさない。
以上より、鈍角三角形になる確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\times 3+5\times 3!}{6^3}=\underline{\sf \frac{13}{72}}\end{align*}}$
しらみつぶしに探しましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/28(日) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2016
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