2016東北大 理系数学２

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【解答】

　(１)
　　　(ⅰ) n=6のとき
　　　　　　　　　2⁶=64、　 6²+7=43　なので成り立つ。
　　　(ⅱ) n=kのとき成り立つと仮定すると、
　　　　　　　　　2^k＞k²+7
　　　　　　なので、
　　　　　　　　　　　2^k+1-(k+1)²-7
　　　　　　　　　　=2・2^k-k²-2ｋ-８
　　　　　　　　　　＞2(k²+7)-k²-2ｋ-８
　　　　　　　　　　=k²-2ｋ+6
　　　　　　　　　　=(k-1)²+5
　　　　　　　　　　＞0
　　　　　　 ⇔　　2^k+1＞(k+1)²+7
　　　　　　となり、n=k+1のときも成り立つ。
　　　以上より、6以上の整数nに対して不等式
　　　　　　　　　2ⁿ＞n²+7
　　　 が成り立つ。


　(２)
　　　等式
　　　　　　　　　p^q=q^p+7　　・・・・・・(#)
　　　において、7は奇数なので、p^qとq^pの偶奇は異なる。
　　　よって、素数p、qのうち一方は2であり、他方は奇数の素数である。

　　　(Ⅰ) p=2のとき
　　　　　　　　　(#)　⇔　2^q=q²+７　　　・・・・・・(A)
　　　　　　・q=3のとき
　　　　　　　　　　　左辺=8　　右辺＝16　となり不適　　　　　
　　　　　　・q=5のとき
　　　　　　　　　　　左辺=右辺＝32　となり(A)は成り立つ
　　　　　　・q≧7のとき
　　　　　　　　　(１)より、2^q＞q²+７なので
　　　　　　　　　(A)の等号は成立しない。

　　　(Ⅱ) q=2のとき
　　　　　　　　　(#)　⇔　p²=2^p+７　　　・・・・・・(B)
　　　　　　・p=3のとき
　　　　　　　　　　　左辺=9　　右辺＝17　となり不適　　　　　
　　　　　　・p=5のとき
　　　　　　　　　　　左辺=25　右辺＝39　となり不適
　　　　　　・p≧7のとき
　　　　　　　　　(１)より、
　　　　　　　　　　　　　　2^p＞p²+７
　　　　　　　　　　　⇔　　p²＜2^p-7＜2^p+7
　　　　　　　　　なので、(B)の等号は成立しない。

　　　以上より、題意を満たすのは
　　　　　　　　　　　　　　(p，q)=(2，5)
　　　である。



　　p、qの偶奇が異なることに気づけば簡単です。