2016東京大 文系数学４

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【解答】

　(1)
　　　mod10の合同式を考えると、
　　　　　　　　　3¹≡3
　　　　　　　　　3²≡9
　　　　　　　　　3³≡27≡7
　　　　　　　　　3⁴≡21≡1
　　　　　　　　　3⁵≡3
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　なので、mを自然数として、
　　　　　　　　　n=4m-3のとき、a_n=3
　　　　　　　　　n=4m-2のとき、a_n=9
　　　　　　　　　n=4m-1のとき、a_n=7
　　　　　　　　　n=4mのとき、a_n=1


　(2)
　　　mod4の合同式を考えると、
　　　　　　　　　3¹≡3
　　　　　　　　　3²≡9≡1
　　　　　　　　　3³≡3
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　nが奇数のとき、b_n=3
　　　　　　　　　nが偶数のとき、b_n=1


　(3)
　　　x₈は奇数なので、(2)より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_9=3^{x_8}\end{align*}}$ を4で割ると3余る。
　　　よって、(1)より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{10}=3^{x_9}\end{align*}}$ を10で割ると7余る。



　　(3)は(1)、(2)をうまく使いましょう。