2016東京大 文系数学３

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【解答】

　(1)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^2\ \ ,\ \ g\ (x)=-x^2+px+q\end{align*}}$ とおくと、導関数は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=2x\ \ ,\ \ g\ '(x)=-2x+p\end{align*}}$
　　　AとBは点(-1，1)で接するので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-1)=g\ (-1)\ \ \Leftrightarrow\ \ 1=-1+p+q\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(-1)=g\ '(-1)\ \ \Leftrightarrow\ \ -2=2+p\end{align*}}$
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf p=-4\ \ ,\ \ q=-2}\end{align*}}$


　(2)
　　　(1)で求めたp、qに対して、Cの方程式は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-t=-\left(x-2t\right)^2-4\left(x-2t\right)-2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x^2+\left(4t-4\right)x-4t^2+9t-2\end{align*}}$
　　　であり、これとAの式を連立させると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=-x^2+\left(4t-4\right)x-4t^2+9t-2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-\left(4t-4\right)x+4t^2-9t+2=0\end{align*}}$　　　・・・・・・(#)
　　　(#)の判別式Dは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4&=\sf \left(2t-2\right)^2-2\left(4t^2-9t+2\right)\\ &=\sf -4t^2+10t\\ &=\sf -2t\left(2t-5\right)\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\0\lt t<\frac{5}{2}\end{align*}}$ のとき
　　　　　D＞0となるので、(#)は異なる2つの実数解をもつ。
　　　　　それらをx₁、x₂ （x₁＜x₂）とおくと、解と係数の関係より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2=2t-2\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1x_2=2t^2-\frac{9}{2}t+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x_2-x_1\right)^2&=\sf \left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\\ &=\sf \left(2t-2\right)^2-4\left(2t^2-\frac{9}{2}t+1\right)\\ &=\sf -4t^2+10t\end{align*}}$
　　　　　となり、A、Cの位置関係は右図のようになるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)&=\sf \int_{x_1}^{x_2}\bigg\{-x^2+\left(4t-4\right)x-4t^2+9t-2-x^2\bigg\}dx\\ &=\sf -2\int_{x_1}^{x_2}\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{3}\left(x_2-x_1\right)^3\\ &=\sf \frac{1}{3}\left\{\left(x_2-x_1\right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{3}\left(-4t^2+10t\right)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}}$　

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{5}{2}\leqq t\end{align*}}$ のとき
　　　　　D≦0より、AとCが領域を囲まないので
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\underline{\sf 0}\end{align*}}$


　(3)
　　　(2)の(ⅰ)で求めたS(t)は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\frac{1}{3}\left\{-4\left(t-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{25}{4}\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、S(t)の最大値は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)_{max}&=\sf S\left(\frac{5}{4}\right)\\ &=\sf \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &=\sf \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{3}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{125}{24}}\end{align*}}$




　　よくある問題です。東大にしては易しいですな。