第3問
aを1＜a＜3をみたす実数とし、座標空間内の4点P1(1，0，1)、P2(1，1，1)、
P3(1，0，3)、Q(0，0，a)を考える。直線P1Q、P2Q、P3Qとxy平面の交点を
それぞれR1、R2、R3として、三角形R1R2R3の面積をS(a)とする。S(a)を最小
にするaと、そのときのS(a)の値を求めよ。
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【解答】
R1は線分P1Qを 1：aに外分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_1\left(\frac{a}{a-1},0,0\right)\end{align*}}$
R2は線分P2Qを 1：aに外分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_2\left(\frac{a}{a-1},\frac{a}{a-1},0\right)\end{align*}}$
R3は線分P3Qを 3：aに外分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_3\left(-\frac{a}{3-a},0,0\right)\end{align*}}$
△R1R2R3は∠R2R1R3=90°の直角三角形なので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(a)&=\sf \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{a-1}\cdot\left(\frac{a}{a-1}+\frac{a}{3-a}\right)\\ &=\sf \frac{a^2}{\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)}\end{align*}}$
aで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S'(a)&=\sf \frac{2a\left(a-1\right)^2\left(3-a\right)-a^2\left\{2\left(a-1\right)\left(3-a\right)-\left(a-1\right)^2\right\}}{\left(a-1\right)^4\left(3-a\right)} \\ &=\sf \frac{a\left(a-2\right)\left(a+3\right)}{\left(a-1\right)^3\left(3-a\right)^2}\end{align*}}$
となるので、S(a)の増減は次のようになる。
よって、S(a)の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(a)_{min}=\underline{\rｍ S(2)=4}\end{align*}}$
これは落とせません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/22(木) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2016
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