第2問
A、B、Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で
試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームと
して大会は終了する。
(a) 1試合目でAとBが対戦する
(b) 2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する
(c) k 試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、
k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここで
kは2以上の整数とする
なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で、
引き分けはないものとする。
(1) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後
の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。
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【解答】
(1)
Aが優勝するまでの勝者を順に書き上げていくと、
(ⅰ)1試合目でAが勝者のとき
AA
ACBAA
ACBACBAA
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
ACBACBACBA・・・・・CBAA
のように、Aは3m-1試合目（m：自然数）で優勝することになる。
(ⅱ)1試合目でBが勝者のとき
BCAA
BCACBAA
BCACBACBAA
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
BCACBACBACBA・・・・・CBAA
のように、Aは3m+1試合目（m：自然数）で優勝することになる。
各試合における勝者は、それぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の確率で決定するので、
ちょうどn試合目でAが優勝する確率をpnとおくと、
・nが3の倍数でないとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\sf \left(\frac{1}{2}\right)^n}\end{align*}}$
・nが3の倍数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
(2)
1試合目でAが勝ち、総試合数が3m回以下でAが優勝する確率を
qとおくと、(1)の(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q&=\sf \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^5+\ldots +\left(\frac{1}{2}\right)^{3m-1}\\ &=\sf \frac{\frac{1}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^m\right\}}{1-\frac{1}{8}}\\ &=\sf \frac{2}{7}-\frac{2}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m\end{align*}}$
1試合目でBが勝ち、総試合数が3m回以下でAが優勝する確率を
rとおくと、(1)の(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r&=\sf \left(\frac{1}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}\right)^7+\ldots +\left(\frac{1}{2}\right)^{3m-2}\\ &=\sf \frac{\frac{1}{16}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^{m-1}\right\}}{1-\frac{1}{8}}\\ &=\sf \frac{1}{14}-\frac{4}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m\end{align*}}$
よって、総試合数が3m回以下でAが優勝する確率はq+rであり、
そのうち、最後の対戦相手がBである確率はrなので、求める
条件付確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{r}{q+r}&=\sf \frac{\frac{1}{14}-\frac{4}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m}{\frac{2}{7}-\frac{2}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m+\frac{1}{14}-\frac{4}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m}\\ &=\sf \frac{8^m-8}{4\cdot 8^m-4+8^m-8}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{8^m-8}{5\cdot 8^m-12}}\end{align*}}$
いわゆる巴戦ってやつです。巴戦に関する問題はよく出題されていますが、
丁寧に書き上げていきさえすれば、たいていの問題は簡単に解決です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/22(木) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2016
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