第1問
eを自然数の底、すなわち $\small\sf{\begin{align*} \sf e=\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \end{align*}}$ とする。すべての正の実数x
に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lt e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
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【解答】
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)=x\left\{\log\left(x+1\right)-\log x\right\}\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf \log\left(x+1\right)-log x+x\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)\\ &=\sf \log\left(x+1\right)-log x-\frac{1}{x+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)&=\sf \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2} \\ &=\sf -\frac{1}{x\left(x+1\right)^2}<0\end{align*}}$
これより、f’(x)は単調に減少し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f\ '(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\bigg\{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\bigg\}=0\end{align*}}$
なので、x＞0において、常にf’(x)＞0となる。
よって、f(x)は単調に増加し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\log e=1\end{align*}}$
なので、x＞0に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)<1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\log e\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lt e\ \ \ \left(\because\ e>1\right)\end{align*}}$
一方、関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\log\left(1+\frac{1}{x}\right)=\left(x+\frac{1}{2}\right)\left\{\log\left(x+1\right)-\log x\right\}\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h '(x)&=\sf \log\left(x+1\right)-log x+\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)\\ &=\sf \log\left(x+1\right)-log x-\frac{x+2}{2x\left(x+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h ''(x)&=\sf \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}-\frac{x\left(x+1\right)-\left(x+2\right)\left(2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2} \\ &=\sf \frac{3x+2}{2x^2\left(x+1\right)^2}>0\ \ \ \ \left(\because\ x>0\right)\end{align*}}$
これより、h’(x)は単調に増加し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}h\ '(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\bigg\{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1+\frac{2}{x}}{2\left(x+1\right)}\bigg\}=0\end{align*}}$
なので、x＞0において、常にh’(x)＜0となる。
よって、h(x)は単調に減少し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}h(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{1}{x}\right)^x+\lim_{x\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}=\log e=1\end{align*}}$
なので、x＞0に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt h(x)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log e<\log\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}}\ \ \ \left(\because\ e>1\right)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lt e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
が成り立つ。
対数をとることに気づけば、あとは計算だけです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/22(木) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2016
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