2016東京医科歯科大 数学２

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【解答】

　　　S、Qの体積をそれぞれV_S、V_Qとおく。

　(１)
　　　Qのxy平面による断面は、連立不等式　
　　　　　　　　|x|≦1、　|y|≦1で
　　　表される正方形の周および内部である。
　　　一方、Sのxy平面による断面は、原点中心、
　　　半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$ の円の周および内部である。
　　　QとSのいずれか一方のみに含まれる点全体が
　　　なす領域がRなので、Rのxy平面による断面は
　　　右図のようになる。


　(２)
　　　領域S_xに含まれる点をP(X，Y，Z)とおくと、X≧1なので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=X^2+Y^2+Z^2\geqq 1^1+0^2+0^2=1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf r_1=1}\end{align*}}$
　　　このとき、球Sが立方体Qに内接するので、Rの体積は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(r_1)=V_Q-V_S=2^3-\frac{4}{3}\pi\cdot 1^3=\underline{\sf 8-\frac{4}{3}\pi}\end{align*}}$

　　　領域S_x∩S_yに含まれる点をP(X，Y，Z)とおくと、X≧1かつY≧1なので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=X^2+Y^2+Z^2\geqq 1^1+1^2+0^2=2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf r_2=\sqrt2}\end{align*}}$

　　　領域S_x∩S_y∩S_zに含まれる点をP(X，Y，Z)とおくと、
　　　X≧1かつY≧1かつZ≧1なので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=X^2+Y^2+Z^2\geqq 1^1+1^2+1^2=3\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf r_3=\sqrt3}\end{align*}}$
　　　このとき、立方体Qが球Sに内接するので、Rの体積は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(r_1)=V_S-V_Q=\frac{4}{3}\pi\cdot \left(\sqrt3\right)^3-2^3=\underline{\sf 4\sqrt3\ \pi-8}\end{align*}}$


　(３)
　　　S₁は、右図の水色部分をx軸の周りに1回転させてできる
　　　回転体なので、その体積をV_xとおくと
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_x&=\sf \pi\int_1^ry^2dx\\ &=\sf \pi\int_1^r\left(r^2-x^2\right)^2dx\\ &=\sf \pi\bigg[r^2x-\frac{x^3}{3}\bigg]_1^r\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\pi}{3}\left(2r^3-3r^2+1\right)}\end{align*}}$


　(４)
　　　0＜r＜r₁のとき
　　　　　S⊂Qなので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(r)=V_Q-V_S=8-\frac{4}{3}\pi r^3\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V'(r)=-4\pi r^2<0\end{align*}}$
　　　　　この範囲でV(r)は単調に減少するので、最小値なし

　　　r₁≦r≦r₂のとき
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V(r)&=\sf V_Q-\left(V_S-6V_x\right)+6V_x\\ &=\sf V_Q-V_S+12V_x\\ &=\sf 8-\frac{4}{3}\pi r^3+12\cdot\frac{\pi}{3}\left(2r^3-3r^2+1\right)\\ &=\sf \frac{\pi}{3}\left(20r^3-36r^2+12\right)+8\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V'(r)=\pi\left(20r^2-24r\right)=4\pi r\left(5r-6\right)\end{align*}}$
　　　なので、V(r)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　よって、V(r)が最小になるときのrの値は
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf r=\frac{6}{5}}\end{align*}}$
　　　である。




　　図が頭の中でイメージできさえすれば、あとはさほど難しくありません。