2016東京医科歯科大 数学１

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【解答】

　(１)
　　　　　　　　　S(n)=2n　⇔　(1+p+p²)(1+q)=2p²q
　　　であり、
　　　　　　　　　1+p+p²=1+p(p+1)
　　　と変形できるので、1+p+p²（＞p²）は奇数である。
　　　よって、1+qは偶数になるので、1+p+p²と1+qの組は
　　　　　　　 (1+p+p²，1+q)=(pq，2p)、(q，2p²)
　　　の2つの場合が考えられる。
　　　　　・(pq，2p)のとき、qを消去すると
　　　　　　　　　　1+p+p²=p(2p-1)　⇔　p²-2p-1=0
　　　　　　　となるので、これをみたす素数pは存在しない。
　　　　　・(q，2p²)のとき、qを消去すると
　　　　　　　　　　1+p+p²=2p²-1　⇔　p²-p-2=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　p=-1，2
　　　　　　　よって、p=2、q=7となるので、
　　　　　　　　　　　　　　　n=2²・7=28


　(２)
　　　S(n)=n+1より、nは素数である。
　　　aが合成数a=bc (b≠1、c≠1）であると仮定すると、
　　　　　　　　　n=2^bc-1
　　　　　　　　　　=(2^b)^c-1^c
　　　　　　　　　　=(2^b-1)(1+2^b+2^2b+・・・+2^bc)
　　　となり、nが素数であることに矛盾する。
　　　よって、aは素数である。


　(３)　　　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(n)&\geqq \sf \left(1+2+2^2+\ldots +2^{a-1}\right)\left\{1+\left(2^a-1\right)\right\}\\ &=\sf \frac{2^a-1}{2-1}\cdot 2^a\\ &=\sf 2\cdot 2^{a-1}\left(2^a-1\right)\\ &=\sf 2n\end{align*}}$　　　・・・・・・(#)
　　　このことと、S(n)≦2nより、S(n)=2nである。
　　　（#)の等号が成立するのは、2^a-１が素数のときなので、
　　　(２)より、aは素数である。

　　　　・a=2のとき
　　　　　　　　　n=2・(2²-1)=6
　　　　・a=3のとき
　　　　　　　　　n=2²・(2³-1)=28
　　　　・a＞3のとき、aは素数なので、自然数mを用いて
　　　　　　a=4m+1 または a=4m+3 と表せる。
　　　　　　以下、mod10の合同式を考えると、
　　　　　　　a=4m+1のとき
　　　　　　　　　　n≡2^4m(2^4m+1-1)
　　　　　　　　　　　≡16^m・(2・16^m-1)
　　　　　　　　　　　≡6^m・(2・6^m-1)
　　　　　　　　　　　≡6・(2・6-1)　　　　（∵ 6²≡6）
　　　　　　　　　　　≡66
　　　　　　　　　　　≡6

　　　　　　　a=4m+3のとき
　　　　　　　　　　n≡2^4m+2(2^4m+3-1)
　　　　　　　　　　　≡4・16^m・(8・16^m-1)
　　　　　　　　　　　≡4・6・(8・6-1)　　　　（∵ 6²≡6）
　　　　　　　　　　　≡24・47　　　　　　　
　　　　　　　　　　　≡8

　　　以上より、題意は示された。
　


　　(１)は「完全数」、(２)は「メルセンヌ数」の話です。