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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016京都大 文系数学5



第5問

  実数を係数とする3次式f(x)=x3+ax2+bx+cに対し、次の条件を考える。
   (イ) 方程式f(x)=0の解であるすべての複素数αに対し、α3もまた
      f(x)=0の解である。
   (ロ) 方程式f(x)=0は虚数解を少なくとも1つもつ。
  この2つの条件(イ)、(ロ)を同時に満たす3次式をすべて求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2016/03/29(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 文系 2016
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:2
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コメント

数3を使う 別解です

理系6番の兄弟問題で難しいですね。
数3の複素数の知識を使うと、少し楽に解けます。

(略解)
f(x)の係数が実数であることと(ロ)より、
f(x)=0 の3解は実数解rと虚数解z,z~(zの共役複素数)とおける
したがって f(x)=(x-r)(x-z)(x-z~)

(イ)よりz^3=r,z,z~ またr^3=r よりr=0,1,-1

(1)z^3=rのとき r≠0
 r=1のとき
  z^3=1,(z~)^3=1,zは虚数なので r,z,z~はx^3-1=0 の3解
  よってf(x)=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) このときf(x)=0 は虚数解を持つ
 r=-1のとき
  z^3=-1,(z~)^3=-1,zは虚数なので r,z,z~はx^3+1=0 の3解
  よってf(x)=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) このときf(x)=0 は虚数解を持つ
(2)z^3=zのとき z=0,1,-1となり不適
(3)z^3=z~のとき
 z^4=zz~=|z|^2,よって|z|^4=|z|^2,|z|≠0なので|z|=1
 よってz^4=1,すなわち(z+1)(z-1)(z^2+1)=0,zは虚数なので z=±i
 よって(x-z)(x-z~)=x^2+1
 したがって
  r=0のとき f(x)=x(x^2+1)=x^3+x
  r=1のとき f(x)=(x-1)(x^2+1)=x^3-x^2+x-1
  r=-1のとき f(x)=(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1
 (以下略)
  1. 2016/03/30(水) 22:28:07 |
  2. URL |
  3. IT #c6Cm64Jo
  4. [ 編集 ]

Re: 数3を使う 別解です

コメントありがとうございます。
おっしゃる通り、文系学生の知識だけでは厳しいでしょうね……^^;;
  1. 2016/04/01(金) 14:33:36 |
  2. URL |
  3. シケタキオア #-
  4. [ 編集 ]

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