2016九州大 文系数学４

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【解答】

　　　以下、xを13で割った余りとyを13で割った余りが等しいことを
　　　「x≡y」と書くことにする。

　(１)
　　　　　　　　a_n+1≡10ⁿ⁺¹≡10・10ⁿ≡10a_n

　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　a₁≡10
　　　　　　　　a₂≡10a₁≡100≡9
　　　　　　　　a₃≡10a₂≡90≡12
　　　　　　　　a₄≡10a₃≡120≡3
　　　　　　　　a₅≡10a₄≡30≡4
　　　　　　　　a₆≡10a₅≡40≡1

　(３)
　　　Nの10⁵の位の数をｘ、1の位の数をｙとおくと、
　　　　　　　　N≡x・10⁵+2・10⁴+10³+6・10²+ｙ
　　　　　　　　　≡xa₅+2a₄+a₃+6a₂+ｙ
　　　　　　　　　≡4ｘ+ｙ+10≡0

　　　ここで、x、yはそれぞれ1≦x≦9、0≦y≦9を満たす整数なので、
　　　　　　　　14≦4x+y+10≦55
　　　であり、この範囲にある13の倍数は26、39、52である。

　　　・4x+y+10=26 すなわち ｙ＝4(4-x) のとき
　　　　　　yは4の倍数であり、-5≦4-x≦3、0≦y≦9
　　　　　　なので、これを満たすx、yの組は
　　　　　　　(x，y)=(4，0)、(3，4)、(2，8)

　　　・4x+y+10=39 すなわち ｙ＝4(7-x)+1 のとき
　　　　　　yは4で割って1余る数であり、-2≦7-x≦6、0≦y≦9
　　　　　　なので、これを満たすx、yの組は
　　　　　　　(x，y)=(7，1)、(6，5)、(5，9)

　　　・4x+y+10=52 すなわち ｙ＝4(10-x)+2 のとき
　　　　　　yは4で割って2余る数であり、1≦10-x≦9、0≦y≦9
　　　　　　なので、これを満たすx、yの組は
　　　　　　　(x，y)=(9，6)

　　　以上より、条件(ⅰ)～(ⅲ)を満たすNは
　　　　N=420160，320164，220168，720161，620165，520169，920166




　　面倒なので合同式でごまかしましたｗｗ