第２問
tを0＜t＜1を満たす実数とする。面積が1である三角形ABCにおいて、
辺AB、BC、CAをそれぞれ2：1、t：1-t、1：3に内分する点をD、E、F
とする。また、AEとBF、BFとCD、CDとAEの交点をそれぞれP、Q、R
とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(１) 3直線AE、BF、CDが1点で交わるときのtの値t０を求めよ。
以下、tは0＜t＜t０を満たすものとする。
(２) AP=kAE、CR=$\small\sf{\begin{align*} \sf \ell\end{align*}}$ CDを満たすk、$\small\sf{\begin{align*} \sf \ell\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。
(３) 三角形BCQの面積を求めよ。
(４) 三角形PQRの面積を求めよ。
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【解答】
(１)
チェバの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}=\frac{2}{1}\cdot\frac{t_0}{1-t_0}\cdot\frac{1}{3}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ 3-3t_0=2t_0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ t_0=\underline{\sf \frac{3}{5}}\end{align*}}$
(２)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{AP}{PE}\cdot\frac{EB}{BC}\cdot\frac{CF}{FA}=\frac{k}{1-k}\cdot\frac{t}{1}\cdot\frac{1}{3}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ tk=3-3k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ k=\underline{\sf \frac{3}{3+t}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{CR}{RD}\cdot\frac{DA}{AB}\cdot\frac{BE}{EC}=\frac{\ell}{1-\ell}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{t}{1-t}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ 2t\ell=3-3t-3\ell+3t\ell\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ \ell=\underline{\sf \frac{3-3t}{3-t}}\end{align*}}$
(３)
BQ=mBFとおくと、メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{BQ}{QF}\cdot\frac{FC}{CA}\cdot\frac{AD}{DB}=\frac{m}{1-m}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{1}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ 2m=4-4m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ m=\frac{2}{3}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BCQ=\frac{2}{3}\triangle BCF=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\triangle ABC=\underline{\sf \frac{1}{6}}\end{align*}}$
(４)
(３)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ACR=\ell \triangle ACD=\ell\cdot\frac{2}{3}\triangle ABC=\frac{2-2t}{3-t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BAP=k \triangle BAE=k\cdot t\triangle ABC=\frac{3t}{3+t}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle PQR&=\sf \triangle ABC-\triangle BCQ-\triangle ACR-\triangle BAP\\ &=\sf 1-\frac{1}{6}-\frac{2-2t}{3-t}-\frac{3t}{3+t}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\left(5t-3\right)^2}{6\left(9-t^2\right)}}\end{align*}}$
ベクトルで解こうすると計算がイヤになります！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/20(土) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2016
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