2016九州大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+ax^2+bx=x\left(x^2+ax+b\right)=0\end{align*}}$
　　　の3解が0，$\scriptsize\sf{\alpha}$ ，$\scriptsize\sf{\beta}$ なので、解と係数の関係より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =-a、　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =b　　・・・・・・(#)

　　　Cとx軸との位置関係は右図のようになるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^{\alpha}\left(x^3+ax^2+bx\right)dx+\int_{\alpha}^{\beta} \left\{-\left(x^3+ax^2+bx\right)\right\}dx\\ &=\sf \left[\frac{x^4}{4}+\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}\right]_0^{\alpha}-\left[\frac{x^4}{4}+\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}\right]_{\alpha}^{\beta}\\ &=\sf \frac{2\alpha^4-\beta^4}{4}+\frac{a\left(2\alpha^3-\beta^3\right)}{3}+\frac{b\left(2\alpha^2-\beta^2\right)}{2}\\ &=\sf \frac{2\alpha^4-\beta^4}{4}+\frac{-\left(\alpha+\beta\right)\left(2\alpha^3-\beta^3\right)}{3}+\frac{\alpha\beta\left(2\alpha^2-\beta^2\right)}{2}\\ &=\sf \underline{\sf -\frac{\alpha^4}{6}+\frac{\alpha^3\beta}{3}-\frac{\alpha\beta^3}{6}+\frac{\beta^4}{12}}\end{align*}}$

　(２)
　　　(１)で求めたSを$\scriptsize\sf{\alpha}$ で微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dS}{d\alpha}&=\sf -\frac{2\alpha^3}{3}+\alpha^2\beta-\frac{1}{6}\beta^3\\ &=\sf -\frac{1}{6}\left(4\alpha^3-6\alpha^2\beta+\beta^3\right)\\ &=\sf -\frac{1}{6}\left(2\alpha-\beta\right)\left(2\alpha^2-2\alpha\beta-\beta^2\right)\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\beta}$ ＞0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1-\sqrt3}{2}\beta<0<\frac{\beta}{2}<\beta<\frac{1+\sqrt3}{2}\beta\end{align*}}$
　　　なので、0＜$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ の範囲におけるSの増減は次のようになる。

　　　　　　　　　

　　　よって、Sを最小とする$\scriptsize\sf{\alpha}$ の値は
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \alpha=\frac{\beta}{2}}\end{align*}}$
　　　である。




　　標準的な問題です。