2016神戸大 文系数学２

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【解答】

　(1)
　　　関数
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=x^2+2ax+a=\bigg\{x-\left(-a-\sqrt{a^2-a}\right)\bigg\}\bigg\{x-\left(-a+\sqrt{a^2-a}\right)\bigg\}\end{align*}}$
　　　に対して
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=-a+\sqrt{a^2-a}\ \ ,\ \ q=-a-\sqrt{a^2-a}\end{align*}}$
　　　とおく。

　　　(ⅰ)$\scriptsize\sf{\sf a^2-a\geqq 0}$ すなわち1≦aのとき、pとqはともに実数なので
　　　　　　・x≦qまたはp≦xのとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf F(x)\\ &=\sf x^2+2ax+a\\ &=\sf \left(x+a\right)^2-a^2+a\end{align*}}$
　　　　　　・q≦x≦pのとき
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf -F(x)\\ &=\sf -x^2-2ax-a\\ &=\sf -\left(x+a\right)^2+a^2-a\end{align*}}$
　
　　　(ⅱ) 0＜a＜1のとき、p、qはともに虚数である。
　　　　　　よって、常にF(x)≧0なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=|F(x)|=F(x)=\left(x+a\right)^2-a^2+a\end{align*}}$

　　　　　以上より、y=f(x)のグラフの概形は下図のようになる。　　　

　　　　　　　

　(2)
　　　y=f(x)が点$\scriptsize\sf{\sf (-1,\ 2)}$ を通るので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-1)=\left|1-a\right|=2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-1,3\end{align*}}$
　　　であり、a＞0より、 a=3 ．
　　　このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -F(x)=-x^2-6x-3\ \ ,\ \ p=-3+\sqrt6\ \ ,\ \ q=-3-\sqrt6\end{align*}}$
　　　なので、y=f(x)のグラフとx軸で囲まれる図形の面積をSとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_q^p\left(\-x^2-6x-3\right)dx\\ &=\sf -\int_q^p\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(p-q\right)\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(2\sqrt6\right)\\ &=\sf \underline{\sf 8\sqrt6}\end{align*}}$


　(3)
　　　$\scriptsize\sf{\sf h(x)=f(x)-2x}$ とおくと、a=2のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F(x)=x^2+4x+2\ \ ,\ \ p=-2+\sqrt2\ \ ,\ \ q=-2-\sqrt2\end{align*}}$

　　　なので、
　　　　　　・x≦qまたはp≦xのとき
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2+1\end{align*}}$
　　　　　　・q≦x≦pのとき
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=-x^2-6x-2=-\left(x+3\right)^2+7\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\sf q\lt -3\lt 1\lt p}$ なので、y=h(x)のグラフは右図のようになる。
　　　任意の実数xに対してh(x)≧bが成り立てばよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\leqq \sf h(p)= \left(-2+\sqrt2\right)^2+2\left(-2+\sqrt2\right)+2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf b\leqq 4-2\sqrt2}\end{align*}}$





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