第1問
四面体OABCにおいて、Pを辺OAの中点、Qを辺OBを2：1に内分する点、
Rを辺BCの中点とする。P、Q、Rを通る平面と辺ACの交点をSとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$ をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 比 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AS}|\end{align*}}$ ：$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf SC}|\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 四面体OABCを1辺の長さが1の正四面体とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QS}|\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\sf -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=\overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OP}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}=\underline{\sf -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf AS:SC=t:1-t}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PS}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}=\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ・・・・・・①
また、点Sは平面PQR上にあるので、実数u、vを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PS}&=\sf u\overrightarrow{\sf PQ}+v\overrightarrow{\sf PR}\\ &=\sf u\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\right)+v\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\right)\\ &=\sf \left(-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(\frac{2}{3}u+\frac{1}{2}v\right)\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}v\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ・・・・・・②
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、①、②の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}-t =-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{2}{3}u+\frac{1}{2}v\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{2}v\end{align*}}$
これら3式を連立させて解くと、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{3}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AS}|: |\overrightarrow{\sf SC}|=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=\underline{\sf 2:1}\end{align*}}$
(3)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c }|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot 1\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、(#)を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf QS}|^2&=\sf \left|\overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf OQ}\right|^2\\ &=\sf \left|\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf c}\right)-\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\right|^2\\ &=\sf \frac{1}{9}|\overrightarrow{\sf a}|^2+\frac{4}{9}|\overrightarrow{\sf b}|^2+\frac{4}{9}|\overrightarrow{\sf c}|^2-\frac{4}{9}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\frac{8}{9}\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\frac{4}{9}\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\\ &=\sf \frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}-\frac{2}{9}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}\\ &=\sf \frac{5}{9}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QS}|=\underline{\sf \frac{\sqrt5}{3}}\end{align*}}$
(2) Sが平面PQR上にあるので、ベクトルPSは2つのベクトルPQ、PRの
一次結合の形で表すことができます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/01/31(火) 23:51:25|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2016
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