2010同志社大 理系（全学部日程） ４(１)～(３)

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【解答】

　(1)
　　　等比数列の和の公式を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=1+\frac{-x^2\ \{\ 1-(-x^2)^{2n}\ \}}{1-(-x^2)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1+x^2)-x^2+x^2 \cdot x^{4n}}{1+x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\end{align*}}$
　　　ここで、0＜x＜1であるxに対して、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x^{\ 4n+2}=0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)=\underline{\ \frac{1}{1+x^2}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　x=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\ :\ 0\rightarrow\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$　 に対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta\ :\ 0\rightarrow\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1=\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\ d\theta=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(1)で求めたｆ(x)より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\end{align*}}$．
　　　0＜x＜1のxに対して常に
　　　　　　　x⁴ⁿ⁺²＞0 、 1＜1+x²
　　　が成り立つので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\lt x^{4n+2}\end{align*}}$．
　　　よって、両辺を積分すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\ dx<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ x^{4n+2}\ dx\end{align*}}$．
　　　右辺を計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ x^{4n+2}\ dx=\left[\frac{x^{\ 4n+3}}{4n+3}\right]_0^{\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$


　　　
　　続きは、次の記事にて。