2010同志社大 理系（全学部日程） ３

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【解答】

　(1)
　　　行列Aに対して、ハミルトン・ケーリーの定理より
　　　　　　　A²－(2+3)A+{2･3－(－1)･(－2)}E=Ｏ
　　　　　⇔　A²－5A+4E=Ｏ

　(2)
　　　Z=xA+yEをZ²=Aに代入すると、
　　　　　　　(xA+yE)²=A
　　　AとEは可換なので、
　　　　　　　x²A²+2xyA+y²E²=A
　　　これに、(1)で得られるA²=5A－4Eを代入して整理すると、
　　　　　　　(5x²+2xy－1)A=(4x²－y²)E ･･････①
　　　ここで、
　　　　　　　p=5x²+2xy－1、 q=4x²－y²
　　　とおいて、①式に成分を代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\begin{pmatrix}\sf 2 &-1\\ \sf -2 & 3\end{pmatrix}=q\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　成分を比較すると、
　　　　　　　2p=q　かつ　－p=0　かつ　－2p=0　かつ　3p=1
　　　すなわち、
　　　　　　　p=5x²+2xy－1=0　････②　　かつ
　　　　　　　q=4x²－y²=0　････③
　　　であればよい。
　　　まず、③において、x＞0かつy＞0なので、
　　　　　　　y－2x
　　　これを②に代入すると、
　　　　　　　5x²+4x²－1=0
　　　となるが、x＞0かつy＞0なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ y=\frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　a、b、c、dを実数とする。
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　とおいて、BW=WBに代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a &b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf c&\sf d\\ 0 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf a\\ 0 &\sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　成分を比較すると、
　　　　　　　c=0　かつ　a=d
　　　となる。よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ 0 &\sf a\end{pmatrix}=b\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}=bB+aE\end{align*}}$．
　　　ここで、ｕ=b、ｖ=aとおくと、題意を満たすことになる。

　(4)
　　　Y²=BとなるYが存在すると仮定すると、
　　　　　　BY²=Y³=Y²B
　　　が成り立つので、(3)より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=uB+vE=\begin{pmatrix}\sf v &u\\ 0\ &\sf v\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となる実数ｕ、ｖが存在する。
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y^2=\begin{pmatrix}\sf v &\sf u\\ 0 &\sf v\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf v &\sf u\\ 0 &\sf v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf v^2&\sf 2uv\\ 0 &\sf v^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0&0\end{pmatrix}=B\end{align*}}$
　　　で、成分を比較すると、
　　　　　　　　ｖ²=0　かつ　2ｕｖ=0
　　　これらを同時に満たす実数ｕ、ｖは存在し得ないので、
　　　Y²=BとなるYは存在しない。



　　(4)が少し難しいです。うまく(3)の結論と結びつけることができましたか？
　　最悪の場合、以下のような誘導を一切無視した方法でもＯＫだと思います。

　　Y²=BとなるYが存在すると仮定し、　　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\begin{pmatrix}\sf e&\sf f\\ \sf g&\sf h\end{pmatrix} \end{align*}}$
　　とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf e&\sf f\\ \sf g &\sf h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf e&\sf f\\ \sf g&\sf h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a^2+bc&\sf b(a+d)\\ \sf c(a+d)&\sf d^2+bc\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0& 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　成分を比較すると、
　　　　　a²+bc=d²+bc=0 ････④
　　　　　b(a+d)=1　　　　 ････⑤
　　　　　c(a+d)=0　　　　 ････⑥
　　⑤、⑥より、c=0
　　これを④に代入すると、a=d=0
　　これは⑤に矛盾するので、Y²=BとなるYは存在しない。