2011京都大 理系数学５

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　　　なんか京大の問題っぽくなってきましたね。
　　　前半は、座標空間における平面の方程式、点と平面の距離の公式を用いれば、簡単にいくでしょう。
　　　しかし、これらは教科書では発展学習としてしか扱われていないので、学校で習っていないという
　　　生徒も多いみたいです。京大を受験するのであれば必須なのですが、ここではこれらを使わずに
　　　解いてみることにします。きれいな図形なのでうまくいくはず。　　



　　　Ａ(４，０，０)、Ｂ(０，４，０)、Ｃ(０，０，４)とすると、
　　　ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ
　　　また、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡでもあるので、四面体ＯＡＢＣは
　　　△ＡＢＣを底面とする正三角錐になる。
　　　よって、点Ｏから△ＡＢＣに下ろした垂線の足Ｈは、
　　　△ＡＢＣの外心。
　　　△ＡＢＣは正三角形なので、点Ｈは△ＡＢＣの重心
　　　でもあるので、　　　
　　　　　　
　　　球の中心Ｏからの距離と半径を比較すると、　
　　　　　　
　　　よって、点Ｈは球の内部にあるので、平面αと球面は共有点をもつ。


　　　まぁ前半部分はこんな感じでいいんじゃないでしょうか。
　　　さて、後半部分ですが図形的なイメージがつかみにくいでしょうから、数式でごり押しです。
　　　ｘ、ｙ、ｚについての対称式なので、まずは基本対称式であるｘ＋ｙ＋ｚ、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ、ｘｙｚ
　　　の３つをつくり、解と係数の関係で３次方程式にもちこんでみましょう。


　　　平面αと球面との共有点Ｐ(ｘ，ｙ，ｚ)を考える。
　　　まず、Ｐは球面上にあるので、ＯＰ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝６ ･････①

　　　次に、点Ｐは平面ＡＢＣ上にあるので、ａ＋ｂ＋ｃ＝１ ･････② を満たす実数ａ，ｂ，ｃを用いて、
　　　　　　
　　　と表せる。これに成分を代入すると、
　　　　　　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(４ａ，４ｂ，４ｃ)
　　　これと②より、　　　
　　　　　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝４ ･･････③
　　　が得られる。

　　　また、①、③より、
　　　　　　ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝{(ｘ＋ｙ＋ｚ)²－(ｘ²＋ｙ²＋ｚ²)}÷２＝５ ･････④

　　　ｘｙｚ＝ｋとおくと、
　　　　　
　　　３次方程式の解と係数の関係より、ｘ、ｙ、ｚはｓについての３次方程式
　　　　　　ｓ³－４ｓ²＋５ｓ－ｋ＝０･････⑤
　　　の３解になる。これを
　　　　　　ｓ³－４ｓ²＋５ｓ＝ｋ･････⑤'
　　　と変形し、ｆ(ｓ)＝ｓ³－４ｓ²＋５ｓ とおく。
　　　　　　ｆ'(ｓ)＝３ｓ²－８ｓ＋５＝(ｓ－１)(３ｓ－５)
　　　より、ｆ(ｓ)の増減表およびｔ＝ｆ(ｓ)のグラフは下の通り

　　　　



　　　⑤の方程式の解は、ｔ＝ｆ(ｓ)のグラフと
　　　直線ｔ＝ｋとの交点を考えればよい。
　　　ｘ、ｙ、ｚは実数なので、⑤が重解も含めて
　　　３つの実数解をもつためには、
　　　　　　　
　　　であればよい。

　　　よって、ｘｙｚの取り得る値の範囲は、
　　　　　　　


　　　　うまく３次方程式に持ち込めたが勝負の分かれ目でしょうか。