ヌ 1 ネ -7 ノ -24 ハ 3 ヒ +
フ - ヘ 12 ホ 54 マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt5\end{align*}}$ ミ 10
ム $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(\sqrt5\right)^n\end{align*}}$ メ 5n
【解説】
以下、複素数zの実部および虚部をそれぞれ、Re(z)、Im(z)と表す。
ヌ
$\scriptsize\sf{\sf Re(\alpha)=1\gt 0\ ,\ \ Im(\alpha)=2\gt 0}$ より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は第1象限にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
ネノハ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^4=\left(1+2i\right)^4=\left(-3+4i\right)^2=\underline{\sf -7-24i}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\sf Re(\alpha^4)\lt 0\ ,\ \ Im(\alpha^4)\lt 0}$なので、$\scriptsize\sf{\alpha^4}$ は第3象限にある。
ヌより、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt 4\theta\lt 2\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\lt arg \alpha^4<\frac{3}{2}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left(3-1\right)\cdot\frac{\pi}{2}<4\theta<3\cdot\frac{3}{2}}\end{align*}}$
ヒフヘホ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^{16}=\left(-7-24i\right)^4=\left(-527+336i\right)^2=527^2-336^2-2\cdot 527\cdot 336\ i\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\sf Re(\alpha^{16}\gt 0\ ,\ \ Im(\alpha^{16}\lt 0}$ なので、$\scriptsize\sf{\alpha^{16}}$ は第4象限にある。
ハより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi<4\theta <\frac{3}{2}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\pi< 16\theta <6\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\pi+\frac{3}{2}\pi\lt arg \alpha^{16}<4\pi +2\pi&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf \left(12-1\right)\cdot\frac{\pi}{2}<16\theta<12\cdot\frac{\pi}{2}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{11}{32}\pi<\theta<\frac{3}{8}\pi\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{m\theta\gt 20\pi}$ を満たす最小の自然数mについて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{32}\left(m-1\right)\pi<\left(m-1\right)\theta<20\pi\lt m\theta<\frac{3}{8}m\pi\end{align*}}$
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{32}\left(m-1\right)\pi<20\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ m<\frac{651}{11}=59.\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 20\pi<\frac{3}{8}m\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ m>\frac{160}{3}=53.\ldots\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 54\leqq m\leqq 54+5}\end{align*}}$
マミム
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=1+2i=\sqrt5\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \ \ \left(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt5}\ ,\ \sin\theta=\frac{2}{\sqrt5}\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_n=\left|\alpha^n\right|=\left|\alpha\right|^n=\left(\sqrt5\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{n+1}=\left(\sqrt5\right)^{n+1}\end{align*}}$
△OPnPn+1に余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_nP_{n+1}^{\ 2}&=\sf \left\{\left(\sqrt5\right)^{n}\right\}^2+\left\{\left(\sqrt5\right)^{n+1}\right\}^2-2\cdot\left(\sqrt5\right)^{n}\cdot\left(\sqrt5\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\\ &=\sf 5^n+5^{n+1}-2\cdot 5^n\\ &=\sf 4\cdot 5^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_nP_{n+1}=\underline{\sf 2\left(\sqrt5\right)^n}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1P_2=\underline{\sf 2\sqrt5}\ \ ,\ \ P_2P_3=2\cdot\sqrt5^2=\underline{\sf 10}\end{align*}}$
メ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OP_nP_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt5\right)^{n}\cdot\left(\sqrt5\right)^{n+1}\cdot\frac{2}{\sqrt5}=\underline{\sf 5^n}\end{align*}}$
