ア 1　　　　イ 3　　　　ウ 2　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$

　　キ (0，3，0)　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-6\right)^2+z^2=9\end{align*}}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-3\right)^2+z^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$　

　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{27}{8}\end{align*}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{27}{8}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{8}\sqrt{15}\end{align*}}$　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{23}{7}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$

　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{7}\sqrt{5}\end{align*}}$　　　
　

【解説】

　アイ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AQ}|=3\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left|\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf a}\right|=3}\end{align*}}$

　ウ
　　　PはOQの中点なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=\underline{\sf 2\overrightarrow{\sf p}}\end{align*}}$

　エオカキ
　　　ウの式をアイの式に代入すると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|2\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf a}\right|=3\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left|\overrightarrow{\sf p}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}\right|=\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　となるので、点Pが動く球面の半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{3}{2}}\end{align*}}$ であり、
　　　中心はOAの中点なので(0，3，0)である。

　ク
　　　S₁は中心(0，6，0)、半径3の球なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x^2+\left(y-6\right)^2+z^2=9}\end{align*}}$

　ケ
　　　S₂は中心(0，3，0)、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ の球なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x^2+\left(y-3\right)^2+z^2=\frac{9}{4}}\end{align*}}$

　コ
　　　クケの2式を辺々引くと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(y-6\right)^2+\left(y-3\right)^2=9-\frac{9}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf y=\frac{27}{8}}\end{align*}}$

　サ
　　　S₁、S₂の中心はともにy軸上にあるので、C₁の中心もy軸上にある。
　　　よって、コより、C₁の中心は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(0\ ,\ \frac{27}{8}\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$

　シ
　　　C₁の中心をB、C₁上の点をTとおくと、△TBAは直角三角形なので、
　　　C₁の半径は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BT=\sqrt{3^2-\left(6-\frac{27}{8}\right)^2}=\underline{\sf \frac{3}{8}\sqrt{15}}\end{align*}}$

　ス
　　　Vは線分UQの中点なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OV}=\frac{\overrightarrow{\sf OU}+\overrightarrow{\sf q}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=2\overrightarrow{\sf OV}-\overrightarrow{\sf OU}\end{align*}}$
　　　であり、QはS₁上の点なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|2\overrightarrow{\sf OV}-\overrightarrow{\sf OU}-\overrightarrow{\sf a}\right|=3\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf OV}-\frac{\overrightarrow{\sf OU}+\overrightarrow{\sf OA}}{2}\right|=\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　よって、S₃の半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ 、中心はAUの中点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{5}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ なので、
　　　S₃の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$
　　　この式とS₁の式を辺々引くと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(y-6\right)^2-\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=9-\frac{4}{9}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{23}{7}\end{align*}}$
　　　となるので、サと同様に考えると、C₂の中心の座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(0\ ,\ \frac{23}{7}\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$

　セ
　　　C₂の半径はシと同様に考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BT=\sqrt{3^2-\left(6-\frac{23}{7}\right)^2}=\underline{\sf \frac{4}{7}\sqrt{5}}\end{align*}}$




　　コが山場でしょうか。