ア 7　　　　イ 36　　　　ウ N+1　　　　エ N²　　　オ N+1

　　カ 2x-2　　　　キ 2N+1　　　　ク 2N　　　　ケ 3N　　　　コ -2x+6N+2

　　サ 4N²

　

【解説】

　　　A、Bそれぞれの袋から取り出した球に書かれた数をそれぞれ
　　　a、bとする。

　(1)
　　　k=2のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，1) より f(2)=1
　　　k=3のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，2)、(2，1) より f(3)=2
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　k=6のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1) より f(6)=5
　　　k=7のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1) より f(7)=6
　　　k=8のとき
　　　　　　　(a，b)=(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，1) より f(8)=5
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　k=12のとき
　　　　　　　(a，b)=(6，6) より f(12)=1

　　　以上より、点(k，f(k))は
　　　　　2≦k≦7のときは、直線y=x-1
　　　　　7≦k≦12のときは、直線y=-x+13
　　　上にあり、これら2直線は直線x=7について対称である。
　　　これら2直線とx軸で囲まれた部分は、3点(1，0)、(7，6)、(13，0)
　　　を頂点とする三角形なので、その面積は　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=\underline{\sf 36}\end{align*}}$


　(2)
　　　(1)と同様に考えると、
　　　k=2のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，1) より f(2)=1
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　k=N+1のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，N)、(2，N-1)、・・・・・、(N，1) より f(N+1)=N
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　k=2Nのとき
　　　　　　　(a，b)=(N，N) より f(2N)=1

　　　以上より、点(k，f(k))は
　　　　　2≦k≦N+1のときは、直線y=x-1
　　　　　N+1≦k≦2Nのときは、直線y=-x+2N+1
　　　上にあり、これら2直線は直線x=N+1について対称である。
　　　これら2直線とx軸で囲まれた部分は、3点(1，0)、(N+1，N)、(2N+1，0)
　　　を頂点とする三角形なので、その面積は　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 2N\cdot N=\underline{\sf N^2}\end{align*}}$


　(3)
　　　k=2のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，1) であるが、袋Aには1の球が2つあるので、
　　　　　　　f(2)=2である。以下も同様に考える。
　　　k=3のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，2)、(2，1) より　f(2)=4
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　k=N-1のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，N-1)、(2，N-2)、・・・・・、(N-1，1) より f(N+1)=2N-2
　　　k=N+1のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，N)、(2，N-1)、・・・・・、(N，1) より f(N+1)=2N
　　　k=N+2のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，N+1)、(2，N)、・・・・・、(N，2) より f(N+1)=2N
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　k=2N+1のとき
　　　　　　　(a，b)=(1，2N)、(2，2N-1)、・・・・・、(N，N+1) より f(N+1)=2N
　　　k=2N+2のとき
　　　　　　　(a，b)=(2，2N-1)、・・・・・、(N，N+1) より f(N+1)=2N-2
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　k=3Nのとき
　　　　　　　(a，b)=(N，2N) より f(N+1)=2

　　　以上より、点(k，f(k))は
　　　　　2≦k≦N+1のときは、直線y=2x-2
　　　　　N+1≦k≦2N+1のときは、直線y=2N
　　　　　2N+1≦k≦3Nのときは、直線y=-2x+6N+2
　　　上にある。
　　　また、これら3直線とx軸で囲まれた部分は、4点
　　　(1，0)、(N+1，2N)、(2N+1，2N)、(3N，0)を頂点とする台形なので、その面積は　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(N+3N\right)\cdot 2N=\underline{\sf 4N^2}\end{align*}}$





　　表に整理すると見やすいと思います。