ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{L}{k+L}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{k+L}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{n}{m-n}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m}{m-n}\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Lpq}{kp+Lq}\end{align*}}$

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{kpq}{kp+Lq}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{npq}{mp-nq}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{mpq}{mp-nq}\end{align*}}$　　　　ケ kp　　　　コ Lq

　　サ mp　　　　シ nq　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{kn}{Lm}\end{align*}}$　　　
　

【解説】

　(1)
　　　C、Dはそれぞれ線分ABをk：Lに内分する点、m：nに外分する点なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\underline{\ \frac{L}{k+L}\overrightarrow{\sf a}+\frac{k}{k+L}\overrightarrow{\sf b}}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ -\frac{n}{m-n}\overrightarrow{\sf a}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$

　　　C’はA’B’とOCの交点なので、実数s、tを用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC'}=s\overrightarrow{\sf OA'}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf OB'}=ps\overrightarrow{\sf a}+q\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC'}=t\overrightarrow{\sf OC}=\frac{Lt}{k+L}\overrightarrow{\sf a}+\frac{kt}{k+L}\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　と2通りに表せる。$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$は一次独立なので、係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{Lt}{k+L}\ \ ,\ \ 1-s=\frac{kt}{k+L}\end{align*}}$
　　　であり、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{Lq}{kp+Lq}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC'}=\frac{Lq}{kp+Lq}\overrightarrow{\sf OA'}+\frac{kp}{kp+Lq}\overrightarrow{\sf OB'}=\underline{\ \frac{Lpq}{kp+Lq}\overrightarrow{\sf a}+\frac{kpq}{kp+Lq}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A'C':B'C'=1-s:s=\frac{kp}{kp+Lq}:\frac{Lq}{kp+Lq}= kp:Lq\end{align*}}$
　　　なので、C’は線分A’B’をkp：Lqの比に内分する。

　　　D’に関しては、C’の場合のLを-nに、kをmに置き換えればよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD'}=\underline{\ -\frac{npq}{mp-nq}\overrightarrow{\sf a}+\frac{mpq}{mp-nq}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
　　　であり、D’は線分A’B’をmp：nqの比に外分する。

　　　よって、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c\left(A',B',C',D'\right)=\frac{\frac{kp}{Lq}}{\frac{mp}{qn}}=\underline{\ \frac{kn}{Lm}}\end{align*}}$
　　　である。



　　最後は予想通りの答えになって安心です＾＾