第2問
次の にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。
3次関数y=f(x)=x2(x-3)で与えられる曲線をCとする。
(1) 関数y=f(x)は、x= ア のとき極大値 イ をとる。また、
x= ウ のとき極小値 エ をとる。
(2) 点(1,-2)における曲線Cの接線Lの方程式はy= オ である。
(3) (1)の ア から エ で表される2点( ア , イ )、
( ウ , エ )が2次関数y=x2+px+qで与えられる放物線C’
上にあるとき、、p= カ 、q= キ である。
(4) (2)で求めた接線Lと(3)で求めた放物線C’で囲まれた部分の
面積は ク である。
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【解答】
ア 0 イ 0 ウ 2 エ -4 オ -3x+1
カ -4 キ 0 ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5\sqrt5}{6}\end{align*}}$
【解説】
(1)
f(x)=x3-3x2
f’(x) =3x2-6x=3x(x-2)
より、f(x)の増減を調べると、f(x)は
x=0で極大値0、x=2で極小値-4
をとる。
(2)
f’(1)=-3より、Lの方程式は、
y-(-2)=-3(x-1) ⇔ y=-3x+1
(3)
放物線y=x2+px+qが2点(0,0)、(2,-4)を通るので、
0=q かつ -4=4+2p+q
これらを連立させて解くと、p=-4、q=0
(4)
LとC’の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-4x=-3x+1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-x-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}\end{align*}}$
となるので、LとC’でで囲まれる図形の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=&=\sf \int_{\frac{1-\sqrt2}{5}}^{\frac{1+\sqrt5}{2}}\bigg\{\left(-3x+1\right)-\left(x^2-4x\right)\bigg\}dx\\ &=\sf -\int_{\frac{1-\sqrt5}{2}}^{\frac{1+\sqrt5}{2}}\left(x-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^3\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(\sqrt5\right)^3\\ &=\sf \underline{\sf \frac{5\sqrt5}{6}}\end{align*}}$
基本的な問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/25(日) 02:02:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2016
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