① -4　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n-\frac{1}{n}\end{align*}}$　　　　③ 445　　　　④ 5　　　⑤ 8

　　⑥ e^a-e^-a　　　　⑦ log2　　　　
　

【解説】

　(1)
　　　3解を1、1、pとおくと、解と係数の関係より
　　　　　　　　1+1+p=-a、　1・1・p=-2a
　　　これら2式を連立させてとくと、p=-4


　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}&=\sf 2a_n+\frac{n+2}{n\left(n+1\right)}\\ &=\sf 2a_n+\frac{n}{n\left(n+1\right)}+\frac{2}{n\left(n+1\right)}\\ &=\sf 2a_n+\frac{1}{n+1}+2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=\sf 2a_n+\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}+\frac{1}{n+1}=2\left(a_n+\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n+\frac{1}{n}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+\frac{1}{n}=\left(a_1+\frac{1}{1}\right)\cdot 2^{n-1}=2^n\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a_n=2^n-\frac{1}{n}}\end{align*}}$


　(3)
　　　x=3、y=-2は等式5x+7y=1　を満たすので、5・3+7・(-2)=1.
　　　これら2式を辺々引くと、
　　　　　　　　5(x-3)+7(y+2)=0　　・・・・・・(#)
　　　となるので、x-3は7の倍数である。整数kを用いて
　　　　　　　　　x-3=7k　 ⇔　 x=7k+3
　　　と表せる。これと(#)より
　　　　　　　　5・7k+7(y+2)=0　 ⇔　 y=-5k-2
　　　なので、
　　　　　　　x+y=2k+1≦100　 ⇔　 k≦49.5 ．
　　　よって、
　　　　　　　　2x+y=2(7k+3)+(-5k-2)=9k+4
　　　が最大になるのは、k=49のときであり、その値は
　　　　　　　　2x+y=9・49+4=445


　(4)
　　　線分ABを7：nに内分する点をCとおくと、　　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=-\frac{n}{7-n}\left(0\ ,\ 2\right)+\frac{7}{7-n}\left(\frac{6}{7}\ ,\ \frac{10}{7}\right)=\frac{1}{7-n}\left(6\ ,\ 10-2n\right)\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\bot\overrightarrow{\sf OC}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\frac{2}{7-n}\left(10-2n\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf n=5}\end{align*}}$


　(5)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{\sqrt3+i}{2}=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^n+\alpha^{-n}&=\sf \left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^n+\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^{-n}\\ &=\sf \left(\cos\frac{n\pi}{6}+i\sin\frac{n\pi}{6}\right)+\left\{\cos\left(-\frac{n\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{n\pi}{6}\right)\right\}\\ &=\sf \left(\cos\frac{n\pi}{6}+i\sin\frac{n\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{n\pi}{6}-i\sin\frac{n\pi}{6}\right)\\ &= \sf 2\cos\frac{n\pi}{6}\end{align*}}$
　　　よって、Nを整数として
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^n+\alpha^{-n}= -2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sf 2\cos\frac{n\pi}{6}=-2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos\frac{n\pi}{6}=-1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{n\pi}{6}=\pi+2N\pi\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n=12N+6\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq n=12N+6\leqq 100\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{5}{12}\leqq N\leqq \frac{47}{6}\end{align*}}$
　　　これを満たす整数Nは8個ある。


　(6)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\left(x(t)\ ,\ y(t)\right)=\left(2t\ ,\ e^t+e^{-t}\right)\ \ \left(0\leqq t\leqq a\right)\end{align*}}$
　　　に対して、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{dx}{dt}\ ,\ \frac{dy}{dt}\right)=\left(2\ ,\ e^t-e^{-t}\right)\end{align*}}$
　　　なので、曲線の長さは
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L(a)&=\sf \int_0^a\sqrt{2^2+\left(e^t-e^{-t}\right)^2}\ dt\\ &=\sf \int_0^a\sqrt{e^{2t}+2+e^{-2t}}\ dt\\ &=\sf \int_0^a\sqrt{\left(e^t+e^{-t}\right)^2}\ dt\\ &=\sf \int_0^a\left(e^t+e^{-t}\right)\ dt\\ &=\sf \bigg[e^t-e^{-t}\bigg]_0^a\\ &=\sf \underline{\sf e^a+e^{-a}} \end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L(a)=e^a+e^{-a}=\frac{3}{2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(e^a\right)^2-3e^a-2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(2e^a+1\right)\left(e^a-2\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e^a=2\ \ (>0)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf a=\log 2}\end{align*}}$





　　これまた例年通りですかね。